Lösning av exponentialekvationer med logaritmer

Hej!

Jag har en ganska svårformulerad fråga angående logaritmer, och hur man kan använda dem för att lösa exponentialekvationer. Jag förstår den bakomliggande algebran, men hur kan man tänka intuitivt?

Säg att man har en förändringsfaktor $a$ , och vill räkna ut antalet år $x$ det tar för att få den totala förändringen $y$ . Då kan man ju ställa upp detta som $a^{x} = y$ . Därefter kan man med hjälp av logaritmering få svaret

$a^{x} = y \leftrightarrow \log (a^{x}) = \log (y) \leftrightarrow x \log (a) = \log (y) \leftrightarrow x = \frac{\log (y)}{\log (a)} .$

Nu är min fråga följande: kan man gå direkt från den ursprungliga ekvationen till svaret genom ren intuition? Alltså bortsett från att man förstår hur man kommer till det med hjälp av algebran, kan man tänka sig att svaret måste vara just $\frac{\log (y)}{\log (a)}$ ? Vad representerar $\log (a)$ och $\log (y)$ i uttrycket, och vad innebär det att man dividerar dem på detta sättet? Varför är detta lösningen?

Ursäkta om min fråga är lite luddig, jag är inte riktigt säker på hur jag ska formulera den. Tack på förhand i alla fall! :)

Nils skrev:
kan man gå direkt från den ursprungliga ekvationen till svaret genom ren intuition?

Mitt korta svar är nej. Här kommer en högst personlig utläggning:

Det är nämligen så vetenskap fungerar. Man börjar med "intuitiva sanningar" sedan bygger senare resultat på tidigare insikter och man kommer längre och längre ifrån "intuitionen". Newton skrev i slutet av 1600-talet "Om jag har sett längre än andra så beror det på att jag stått på jättars axlar". Det finns inget intuitivt i hans gravitationslagar eller ens i hans integraldefinition. Inte omedelbart uppenbart i alla fall. Logaritmlagarna är en hyfsat sen upptäckt ännu senare än Newton, tror jag. Mycket matematik hade utforskats innan dess och avståndet till intuition hade därmed ökats. Det finns säkert en del som vill mena att de (logaritmlagarna) är intuitiva men för de flesta dödliga är de inte det, vill jag påstå.

Ett klipp om logaritmer jag alltid rekommenderar är Viharts youtubeklipp "How I Feel About Logarithms", som ger en fantastisk känsla för det logaritmiska räknesystemet.

I ditt exempel är det möjligt, men man kanske behöver tänja lite på gränserna för vad som kan anses "intuitivt". Det ekvationen $a^x=y$ (där a och y är kända, a är en förändringsfaktor och y är ett slutresultat, x är en okänd variabel) egentligen säger är "a multiplicerat med sig själv x antal gånger är lika med y". Om vi vill "lösa ut" x ur detta påstående genom att ställa en fråga om x, blir den frågan "vad är x, om a multiplicerat med sig självt x gånger ska bli lika med y?".

Logaritmer ställer dessa frågor. Tiologaritmen frågar "vad måste vi upphöja tio till för att få [något visst tal]?". Tvålogaritmen frågar "vad måste vi upphöja två till för att få [något visst tal]?". Den bästa översättningen av vår fråga blir då att beräkna $x=\log_{a}{y}$ . Dock kan det vara en jobbig beräkning att utföra, och vi skulle hellre hålla oss till någon känd bas (tio, e, två, eller åtminstone något heltal). För att omvandla mellan olika baser finns formeln $\log_{x} y = \frac{\log_{z} y}{\log_{z} x}$ , i vårt fall $\log_{a} y = \frac{\log_{10} y}{\log_{10} a}$ . :)

Tack så mycket för de snabba svaren! Jag har länge grubblat över hur man kan tänka sig logaritmer intuitivt, men jag antar att det räcker med att kunna och förstå de algebraiska bevisen för en del saker. Jag har svårt för att bara acceptera såna här idéer utan att komma i underfund med vad de innebär intuitivt. Det känns bara känns lättare att förstå matematiska verktyg när man intuitivt begriper vad de innebär. I alla fall, tackar än en gång! Youtubevideon gav ett hjälpsamt nytt perspektiv på logaritmer, och med hjälp av basbytesformeln är det lättare att förstå "genvägen" mellan ekvationen och svaret.

Trevligt att du uppskattar det! :)

Svara

Visa senaste svar