Lösning av differentialekvation

Hej jag har differentialekvationen xy'-y=-x^2+5x+1 och vill hitta den allmänna lösningen. Jag började med att dela allt på x. Jag har hittat den integrerande faktorn vilket jag fick till 1/x. Sedan multiplicera jag alla termer i ovanstående med den integrerande faktorn. Sedan får jag d/dx ((y(x)*1/x)= $\int$ (-x^2+5x+1)/x^2. När jag ska integrerat bråket så tror jag att jag gör fel. För får fel svar. Jag får det till -x+1/x-5ln(x)+c när jag integrerar. Delade upp bråket när jag integrerade men förstår inte vad jag gjort fel

Den primitiva funktionen för 1/x^2 är -1/x. Blir det rätt då?

Vänta kan du skriva ut hela primitiva funktionen?

Hej!

Innan du dividerar med $x$ måste du förutsätta att du inte dividerar med noll.

Om $x=0$ så säger ekvationen att $-y(0) = 1$ , så den lösning som du beräknar gäller när $x\neq 0$ och då $x=0$ är lösningen definierad att vara $y(0) = -1.$

Under förutsättning att $x\neq 0$ så är din differentialekvation densamma som

$y'(x)-\frac{1}{x}y(x)=-x+5+\frac{1}{x}$

vars integrerande faktor är $e^{-\ln x} = \frac{1}{x}$ . Multiplikation av differentialekvationen med denna faktor ger ekvationen

$(\frac{1}{x}\cdot y(x))^{\prime}=-1+\frac{5}{x}+\frac{1}{x^2}$ .

Integrering ger funktionerna

$\frac{1}{x}\cdot y(x) = C-x + 5\ln |x|-\frac{1}{x}\iff y(x) = 5x\ln|x|-(x^2+Cx+1)\ , \quad x\neq 0$

där $C$ betecknar en godtycklig konstant.

Resultatet är alltså

$y(x) = \left\{\begin{matrix}5x\ln|x|-(x^2+Cx+1)\ , \quad &x\neq 0\ ,\\-1\ , \quad &x=0.\end{matrix}\right.$

hur får du att cx är negativt när det inte var de innan?

hejsansvejsantja skrev:
hur får du att cx är negativt när det inte var de innan?

Symbolen $C$ betecknar inte samma konstant i de två fallen.

Svara

Visa senaste svar