Lösa ut komplex ekvation

Ayousef skrev:

Jag har ekvationen z^2 + (2-4i)z +2 -16i = 0

Jag tänker såhär

Flyttar över +2-16i till högerled

Du menar att du subtraherar (2-16i) på båda sidor. Det är så lätt att göra teckenfel om man tänker "flytta över".

Nu är ekvationen $z^2 + (2-4i)z =-2 +16i$

Kvadratkompletterar och lägger (2-4i)^2 / 4 i både leden

Det underlättar om du skriver ut varje steg alternativt inte tar så stora steg.

$z^2 + (2-4i)z +\frac{(2-4i)^2}{4}=-2 +16i+\frac{(2-4i)^2}{4}$

$z^2 + (2-4i)z -3-4i = -2+16i-3-4i$

$z^2 + (2-4i)z -3-4i = 12i -5$

Jag har kommit nu till z^2 + (2-4i)z -3-4i = 12i -5

Hur går man vidare?

$(z+(2-4i))^2= 12i -5$

Sedan är nästa steg "bara" att dra roten ur båda led - vänsterledet är enkelt, men...

Så i alla uppgifter med denna typ, efter kvadratkompletteringen och uträkningen kan jag alltid göra att:

z^2 + (2+4i) +- (kvadratkompletteringen) = 12i - 5 kan jag alltid skriva i formen (z+(2-4i))^2 = 12 -5i

Ayousef skrev:

Så i alla uppgifter med denna typ, efter kvadratkompletteringen och uträkningen kan jag alltid göra att:

 

z^2 + (2+4i) +- (kvadratkompletteringen) = 12i - 5 kan jag alltid skriva i formen (z+(-4i))^2 = 12 -5i

Det är ju det som är själva kvadratkompletteringen - att se till att man har en hel kvadrat i vänsterledet.

Okej!

Jag drar rotenur och kommer till 

z = -(2-4i) +- $\sqrt{12i - 5}$.

Undrar om detta är slutgiltiga svaret eller?

Nej, ditt svar skall vara på formen z_1,2  = a+bi.

kan jag addera dem, t.ex att

-2+ Rotenur5 + 4i+Rotenur12i? Isåfall är det bara det och man e klar?

Ayousef skrev:

kan jag addera dem, t.ex att

 

-2+ Rotenur5 + 4i+Rotenur12i? Isåfall är det bara det och man e klar?

Nej, du behöver ta reda på värden för roten i högerledet. Du kan skriva om det på polär form, eller lösa ekvationen (a+bi)² = 12 i - 5.

Dem var redan rotenur innan, så det är $\sqrt{\sqrt{12^2 + 5^2}}$, vilket ger mig $\sqrt{17}$

Du har gjort rätt genom att flytta över +2-16i till högerled och sedan kvadratkompletterat. Nu kan du förenkla högerledet genom att utföra addition och subtraktion av termer. Du har:

z^2 + (2-4i)z -3-4i = 12i -5

Börja med att lägga till 3 på båda sidor för att bli av med -3 på vänster sida:

z^2 + (2-4i)z -4i = 12i -2

Nu kan du fortsätta genom att lösa ekvationen genom att använda formeln för andragradsekvationer:

z = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac)) / 2a

där a, b och c är koefficienterna till z^2, z och den konstanta termen, respektive. Sätt in värdena för a, b och c från din ekvation:

a = 1, b = 2-4i och c = -4i -2

Sätt in dessa värden i formeln för andragradsekvationer och lösa för z:

z = (-2 + 4i ± sqrt((2-4i)^2 - 4(1)(-4i-2))) / 2

z = (-2 + 4i ± sqrt(16 - 32i - 12)) / 2

z = (-2 + 4i ± sqrt(4-32i)) / 2

Nu kan du förenkla roten:

sqrt(4-32i) = sqrt(4(1-8i)) = 2sqrt(1-8i)

Sätt in detta i ekvationen för z:

z = (-2 + 4i ± 2sqrt(1-8i)) / 2

z = -1 + 2i ± sqrt(1-8i)

Där har du dina två lösningar för z

z = -1 + 2i ± sqrt(1-8i)

Där har du dina två lösningar för z

Nej, du är bara halvfärdig. Det skall inte finnas någon "roten ur ett komplext tal" i svaret.