lösa trigonometriska funktioner mha Derivatan

Visa med hjälp av derivatan att ekvationen 4tanx - 2,5 = 8x har exakt en (1) rot i intervallet $- \frac{π}{2} < X < \frac{π}{2}$ .

Att lösa problemet mha derivatan är inte själva problemet, jag deriverar funktionen och får att X= $\frac{π}{4}$ som enda rot inom intervallet. Min fråga är istället VARFÖR man använder DERIVATAN för att hitta lösningen? Dessutom, om jag sätter in $\frac{π}{4}$ i själva funktionen, så får jag att 4*1 - 2,5 = $\frac{8 π}{4}$ , vilket inte alls stämmer

(för 4-2,5 kan inte bli lika med $2 π$ )! Kan ngn möjligen förklara detta problem så att man begriper?

Tanken är inte att derivera derivatan för att hitta nollstället – det fungerar inte. Istället är tanken att använda derivatan för att få ut information om hur funktionen beter sig. Om du kan hitta en punkt som ligger ovanför x-axeln, och en punkt som ligger under x-axeln (samt att funktionen är kontinuerlig mellan punkterna), kan vi sluta oss till att funktionen måste ha minst ett nollställe mellan punkterna.

Vad har du fått för information om funktionen från att beräkna derivatan? :)

OK, minst ett nollställe säger du, men uppgiften var att visa att ekvationen hade EXAKT EN ROT. Det betyder alltså att den givna funktionen endast korsar x-axeln en gång, men hur bevisar man det?

Informationen jag fått gm att lösa ut X i den deriverade funktionen, säger väl endast att funktionen har sitt största/minsta värde i just den specifika x-koordinaten?

Henrik skrev:
OK, minst ett nollställe säger du, men uppgiften var att visa att ekvationen hade EXAKT EN ROT. Det betyder alltså att den givna funktionen endast korsar x-axeln en gång, men hur bevisar man det?

Jo, eftersom uppgiften är att mha derivatan visa detta, så skriv om ekvationen till en funktion

$f (x) = 4 \tan x - 2, 5 - 8 x$

Och så vill vi veta när f(x) = 0.

Deriverar man den och tittar på derivata bara är positiv (eller negativ) i intervallet, så vet vi att den ökar (minskar) hela tiden. Kan du då hitta en punkt där f(x)<0 och en punkt f(x) > 0 (vilka som helst, då har du visat att det bara kan finnas en rot.

Nej tyvärr, jag förstår fortfarande inte uppgiften!

Jag tycker inte alls att derivatan alltid är antingen positiv eller negativ i intervallet. Om jag t ex sätter in ett x-värde i den deriverade funktionen (4/(cosx)²-8) ngt mindre än $π$ /2, får jag ett mkt stort positivt tal. Men om jag istället sätter in ett pos. x-värde mkt nära noll i Y^l, så får jag ett tal som närmar sig -4 (alltså ett negativt tal)???

Har jag ev. inte deriverat funktionen felaktigt?

Det är inte så enkelt i den här uppgiften att derivatan har samma tecken på hela intervallet. Ibland är det så.

Har du ritat?

Man får dela upp funktionen i intervall där den är stigande och där den är fallande, och betrakta dem vart för sig.

Svara

Visa senaste svar