Lösa trigonometriska ekvationer (Matematik/Matte 4/Trigonometri)

Kan du skriva om VL som en sinusfunktion på formen

$A\sin(x+\phi)$

?

Dr. G skrev:
Kan du skriva om VL som en sinusfunktion på formen
$A\sin(x+\phi)$
?

På pappret står det att jag ska använda mig av detta:

Ja du kan använda den första formeln.

Välj $v=\frac{\pi}{4}$ och se vad som händer.

Yngve skrev:
Ja du kan använda den första formeln.
Välj $v=\frac{\pi}{4}$ och se vad som händer.

Utgå från sambandet $\sin(x+\frac{\pi}{4})=\sin(x)\cos(\frac{\pi}{4})+\cos(x)\sin(\frac{\pi}{4})$ .

Ersätt nu $\cos(\frac{\pi}{4})$ och $\sin(\frac{\pi}{4})$ med de exakta värdena.

Om du inte minns dem utantill kan du titta i formelsamlingen (eller snabbt ta fram dem genom tankestödet "halv kvadrat").

Faktorisera högerledet och dividera sambandet med lämplig faktor så får du fram ett uttryck för $\sin(x)+\cos(x)$ som du kan använda i ekvationen som gavs i uppgiften.

Du ska räkna ut vad cos resp sin är det är inte vinkeln. Strunta i denna komentar, såg inte att Yngve redan svarat

Yngve skrev:
Utgå från sambandet $\sin(x+\frac{\pi}{4})=\sin(x)\cos(\frac{\pi}{4})+\cos(x)\sin(\frac{\pi}{4})$ .
Ersätt nu $\cos(\frac{\pi}{4})$ och $\sin(\frac{\pi}{4})$ med de exakta värdena.
Om du inte minns dem utantill kan du titta i formelsamlingen (eller snabbt ta fram dem genom tankestödet "halv kvadrat").
Faktorisera högerledet och dividera sambandet med lämplig faktor så får du fram ett uttryck för $\sin(x)+\cos(x)$ som du kan använda i ekvationen som gavs i uppgiften.

hur kommer jag vidare nu

Nej, $\frac{\pi}{4}$ är en vinkel uttryckt i radianer. Samma vinkel uttryckt i grader är 45°.

Det betyder att $\sin(\frac{\pi}{4})=\sin($ 45° $)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ . Det är alltså inte lika med 45°.

Kan du på samma sätt komma fram till vad $\cos(\frac{\pi}{4})$ är?

Yngve skrev:
Nej, $\frac{\pi}{4}$ är en vinkel uttryckt i radianer. Samma vinkel uttryckt i grader är 45°.
Det betyder att $\sin(\frac{\pi}{4})=\sin($ 45° $)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ . Det är alltså inte lika med 45°.
Kan du på samma sätt komma fram till vad $\cos(\frac{\pi}{4})$ är?

Jag förstår inte

Amanda9988 skrev:

Jag förstår inte

Vad förstår du inte? Är det

Att $\frac{\pi}{4}$ i detta sammanhang betecknar en vinkel?
Att denna vinkel är lika med 45°?
Att sin(45°) = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ?
Hur du ska kunna ta reda på vad cos(45°) är?

Yngve skrev:
Amanda9988 skrev:
Jag förstår inte
Vad förstår du inte? Är det
Att $\frac{\pi}{4}$ i detta sammanhang betecknar en vinkel?
Att denna vinkel är lika med 45°?
Att sin(45°) = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ?
Hur du ska kunna ta reda på vad cos(45°) är?

Jag förstår inte att det betecknar en vinkel och hur jag ska kunna ta reda på cos 45. Har jag gjort rätt änsålänge eller?

Nej, det är inte rätt.

Jag trodde att du har stött på begreppet radianer tidigare i Matte 4?

Om inte, så kommer här en superkort introduktion. Om du vill så kan du även läsa mer om radianer här.

Vinklar kan anges i olika enheter. De två vanligaste är grader (där en vinkel t.ex. kan anges som 45°, 90°, 180° och så vidare) och radianer (där en vinkel t.ex. kan anges som $\frac{\pi}{4}$ radianer, $\frac{\pi}{2}$ radianer, $\pi$ radianer och så vidare). Oftast utelämnar man ordet "radianer" när man anger vinklar i radianer.

För att översätta mellan grader och radianer kan du använda att det är ett linjärt samband, att 0° motsvarar 0 radianer och att 360° motsvarar $2\pi$ radianer.

Det ger dig sambanden

1° = $\frac{\pi}{180}$ radianer
1 radian = $\frac{180}{\pi}$ °

----------

Samma sak fast i ett annat sammanhang är temperatur, där en viss temperatur kan anges i grader Celsius, grader Fahrenheit eller grader Kelvin. Ofta utelämnar man ordet "Celsius" när man anger temperatur i grader Celsius. Till exempel säger jag att det är 21 grader ute idag, inte 21 grader Celsius.

---------------

Du kan ta reda på värdet av cos(45°) antingen genom att titta i din formelsamling eller genom att du vet att i en rätvinklig triangel så är cosinusvärdet för en vinkel lika med längden av närliggande katet dividerat med längden av hypotenusan.

Om du då ritar en triangel som är en halv kvadrat (delad av en diagonal), så är de båda kateterna lika långa och hypotenusan enligt Pythagoras sats lika med $\sqrt{2}$ gånger kateternas längder.

Det ger dig att cos(45°) = $\frac{1}{\sqrt{2}}$ , vilket är lika med $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Blev det lite klarare då?

Yngve skrev:
Nej, det är inte rätt.
Jag trodde att du har stött på begreppet radianer tidigare i Matte 4?
Om inte, så kommer här en superkort introduktion. Om du vill så kan du även läsa mer om radianer här.
Vinklar kan anges i olika enheter. De två vanligaste är grader (där en vinkel t.ex. kan anges som 45°, 90°, 180° och så vidare) och radianer (där en vinkel t.ex. kan anges som $\frac{\pi}{4}$ radianer, $\frac{\pi}{2}$ radianer, $\pi$ radianer och så vidare). Oftast utelämnar man ordet "radianer" när man anger vinklar i radianer.
För att översätta mellan grader och radianer kan du använda att det är ett linjärt samband, att 0° motsvarar 0 radianer och att 360° motsvarar $2\pi$ radianer.
Det ger dig sambanden
1° = $\frac{\pi}{180}$ radianer
1 radian = $\frac{180}{\pi}$ °
----------
Samma sak fast i ett annat sammanhang är temperatur, där en viss temperatur kan anges i grader Celsius, grader Fahrenheit eller grader Kelvin. Ofta utelämnar man ordet "Celsius" när man anger temperatur i grader Celsius. Till exempel säger jag att det är 21 grader ute idag, inte 21 grader Celsius.
---------------
Du kan ta reda på värdet av cos(45°) antingen genom att titta i din formelsamling eller genom att du vet att i en rätvinklig triangel så är cosinusvärdet för en vinkel lika med längden av närliggande katet dividerat med längden av hypotenusan.
Om du då ritar en triangel som är en halv kvadrat (delad av en diagonal), så är de båda kateterna lika långa och hypotenusan enligt Pythagoras sats lika med $\sqrt{2}$ gånger kateternas längder.
Det ger dig att cos(45°) = $\frac{1}{\sqrt{2}}$ , vilket är lika med $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .
Blev det lite klarare då?

Ja, jag har stött på begreppet radianer och jag vet att cos 45 är 1/roten ur 2 eller roten ur två/2.
men jag vet inte hur jag kommer vidare

På din andra rad på bilden där uppe är du på väldigt rätt spår. Byt sen ut sin pi/4 till 1/rot2 och gångra båda sidor av den ekvationen med rot2 så borde du få något bekant.

Amanda9988 skrev:

Ja, jag har stött på begreppet radianer och jag vet att cos 45 är 1/roten ur 2 eller roten ur två/2.
men jag vet inte hur jag kommer vidare

Eftersom $\sin(x+\frac{\pi}{4})=$

$=\sin(x)\cos(\frac{\pi}{4})+\cos(x)\sin(\frac{\pi}{4})=$

$=\sin(x)\frac{\sqrt{2}}{2}+\cos(x)\frac{\sqrt{2}}{2}=$

$=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin(x)+\cos(x))$

så är $\sin(x)+\cos(x)=\frac{2}{\sqrt{2}}\sin(x+\frac{\pi}{4})$

Du kan alltså ersätta $\sin(x)+\cos(x)$ i din ursprungsekvation med $\frac{2}{\sqrt{2}}\sin(x+\frac{\pi}{4})$ .

Yngve skrev:
Amanda9988 skrev:
Ja, jag har stött på begreppet radianer och jag vet att cos 45 är 1/roten ur 2 eller roten ur två/2.
men jag vet inte hur jag kommer vidare
Eftersom $\sin(x+\frac{\pi}{4})=$
$=\sin(x)\cos(\frac{\pi}{4})+\cos(x)\sin(\frac{\pi}{4})=$
$=\sin(x)\frac{\sqrt{2}}{2}+\cos(x)\frac{\sqrt{2}}{2}=$
$=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin(x)+\cos(x))$
så är $\sin(x)+\cos(x)=\frac{2}{\sqrt{2}}\sin(x+\frac{\pi}{4})$
Du kan alltså ersätta $\sin(x)+\cos(x)$ i din ursprungsekvation med $\frac{2}{\sqrt{2}}\sin(x+\frac{\pi}{4})$ .

Kan vi ta allt från början för jag blir helt förvirrad nu.
jag har gjort såhär mycket änsålänge, vad är nästa steg.

Du blandar ihop vinklar och värden på trigonometriska funktioner.

Det verkar som om du tror att $\cos(\frac{\pi}{4})=\cos(\frac{1}{\sqrt{2}})$ och att $\sin(\frac{\pi}{4})=\sin(\frac{1}{\sqrt{2}})$ , men det gäller att $\cos(\frac{\pi}{4})=\frac{1}{\sqrt{2}}$ och att $\sin(\frac{\pi}{4})=\frac{1}{\sqrt{2}}$ .

Så här ska det alltså vara:

Yngve skrev:
Du blandar ihop vinklar och värden på trigonometriska funktioner.
Det verkar som om du tror att $\cos(\frac{\pi}{4})=\cos(\frac{1}{\sqrt{2}})$ och att $\sin(\frac{\pi}{4})=\sin(\frac{1}{\sqrt{2}})$ , men det gäller att $\cos(\frac{\pi}{4})=\frac{1}{\sqrt{2}}$ och att $\sin(\frac{\pi}{4})=\frac{1}{\sqrt{2}}$ .
Så här ska det alltså vara:

Ahaa, nu förstår jag vad du menar!

hur kommer jag vidare nu?

Bra, nu stämmer det.

Läs det här svaret igen. Dör står hur du kan gå vidare.

Yngve skrev:
Bra, nu stämmer det.
Läs det här svaret igen. Dör står hur du kan gå vidare.

Ja det stämmer.

Nu blev det en enklare ekvation som endast innehåller en sinusterm istället för både en sinus- och en cosinusterm.

Kan du lösa den?

Yngve skrev:
Ja det stämmer.
Nu blev det en enklare ekvation som endast innehåller en sinusterm istället för både en sinus- och en cosinusterm.
Kan du lösa den?

nej, kan du leda mig?

Börja med att multiplicera båda sidorna med $\sqrt{2}$ . Hur ser ekvationen ut då?

Fast nu blev väl inte ekvationen riktigt rätt...

EDIT - Korrigerat felaktigheter

Det stämmer. Fel av mig där tidigare.

Det gäller att $\frac{1}{\sqrt{2}}(\sin(x)+\cos(x))=\sin(x+\frac{\pi}{4})$ .

Alltså är $\sin(x)+\cos(x)=\sqrt{2}\cdot\sin(x+\frac{\pi}{4})$ och inget annat.

Ursprungsekvationen var

$\sin(x)+\cos(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Om vi nu byter ut $\sin(x)+\cos(x)$ mot $\sqrt{2}\cdot\sin(x+\frac{\pi}{4})$ i vänsterledet så blir ekvationen istället

$\sqrt{2}\cdot\sin(x+\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Yngve skrev:
Om vi nu byter ut $\sin(x)+\cos(x)$ mot $\frac{1}{\sqrt{2}}\sin(x+\frac{\pi}{4})$

$\sin(x)+\cos(x)$ bör hellre bytas mot $\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})$ =)

Skaft skrev:

$\sin(x)+\cos(x)$ bör hellre bytas mot $\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})$ =)

Det stämmer. Jag har korrigerat tokerierna.