Lösa trigonometiska ekvationer utan miniräknare.

Du bör kunna sinus-och cosinusvärden för vinklarna $0, \frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}$ och dess "speglingar" i andra kvadranter utantill.

Hur är frågan formulerad där du säger att man behöver kunna $\sin(x)=\frac{\pi}{5}$? Dessutom är det konstigt att ange sinus-värdet med $\pi$ i - det brukar vara vinkeln som innehåller $\pi$.

Korrektion: sinx= sin (pi /5)

Om $\sin \left(k{x}_1\right)=\sin \left(k{x}_2\right)$, gäller det att $k{x}_1=k{x}_2+n·2\mathrm{\pi }$, samt $k{x}_1=\left(\mathrm{\pi }-{\mathrm{kx}}_2\right)+n·2\mathrm{\pi }$.

Förlåt en dum fråga om:

$\pi =180°$
$\frac{\mathrm{\pi }}{2}=\frac{180}{2}=90°$
$\frac{\mathrm{\pi }}{4}=\frac{180}{4}=45°$

så är väl $\frac{\mathrm{\pi }}{5}=\frac{180}{5}=36°$ 

och sin $36°$=sin$\frac{\mathrm{\pi }}{5}$ eller har jag blandat äpplen och päron nu, d.v.s. grader och radianer?

ConnyN skrev:

Förlåt en dum fråga om:

$\pi =180°$
$\frac{\mathrm{\pi }}{2}=\frac{180}{2}=90°$
$\frac{\mathrm{\pi }}{4}=\frac{180}{4}=45°$

så är väl $\frac{\mathrm{\pi }}{5}=\frac{180}{5}=36°$ 

och sin $36°$=sin$\frac{\mathrm{\pi }}{5}$ eller har jag blandat äpplen och päron nu, d.v.s. grader och radianer?

 Hej

Ja det stämmer, om du vill gå från radianer till grader multiplicerar du med $\frac{180}{\mathrm{\pi }}$ vilket ger $\frac{\mathrm{\pi }}{5}·\frac{180}{\mathrm{\pi }}=\frac{36·\cancel{5}}{\cancel{5}}=36°$

Smutstvätt skrev:

Om $\sin \left(k{x}_1\right)=\sin \left(k{x}_2\right)$, gäller det att $k{x}_1=k{x}_2+n·2\mathrm{\pi }$, samt $k{x}_1=\left(\mathrm{\pi }-{\mathrm{kx}}_2\right)+n·2\mathrm{\pi }$.

 Har försökt förstå denna uppgift. Den är över min nivå helt klart, men så här tolkar jag den.

Definitionsmängden -1 < X < 1 tolkar jag som att alla fyra kvadranterna är med (0- 360 grader)
Värdemängden likaså.

Smutstvätt skriver $k_{x1}=(\mathrm{\pi }-k_{x2})+n·2\mathrm{\pi }$ 
Där tolkar jag $(\mathrm{\pi }-{\mathrm{k}}_{\mathrm{x}2})$ som att därifrån börjar vi studera sinuskurvan.
För varje varv ytterligare lägger vi till $n·2\mathrm{\pi }$

Så ett eventuellt svar blir $k_{x1}=(\mathrm{\pi }-\frac{\mathrm{\pi }}{5})+\mathrm{n}·2\mathrm{\pi } \mathrm{och} {\mathrm{k}}_{\mathrm{x}1}=\frac{4\mathrm{\pi }}{5}+\mathrm{n}·2\mathrm{\pi }$

Tänker jag rätt?

Uppgiften är alltså $\sin(x)=\sin(\frac{\pi}{5}$.

På den här uppgiften skulle jag använda enhetscirkeln. Jag skulle börja med att rita en cirkel, markera koordinataxlarna och sedan rita en linje med vinkeln $\frac{\pi}{5}$ ungefär - d v s lite neråt jämfört med vinkeln $\frac{\pi}{4}$. Sinus är y-koordinaten, så jag skulle dra en vågrät linje tvärs genom cirkeln och kan se att den skär cirkeln en gång till och att den vinkeln är $\pi-\frac{\pi}{5}=\frac{4\pi}{5}$. Perioden ör $2\pi$. 

Lösningen är alltså $x=\frac{\pi}{5}+2\pi n$ eller  $x=\frac{4\pi}{5}+2\pi n$, men om definitionsmängden är $-1\le x\le1$ är det bara $x=\frac{\pi}{5}$ och $x=-\frac{\pi}{5}$ som fungerar, eftersom de andra tänkbara värdena ligger utanför definitionsmängden.

Suveränt Smaragdalena!

Det uppmuntrar mig dessutom att repetera kapitlet om trigonometri i matte 3C.
Inbillade mig att jag kunde det.

Hej!

För en lösning på universitetsnivå (där denna tråd ursprungligen postades, innan Smaragdalena placerade om den) föreslår jag att ekvationen $\sin x= \sin (\pi/5)$ formuleras som

    ${\displaystyle \sin \left(\frac{x-\pi /5}{2}\right)\cos \left(\frac{x+\pi /5}{2}\right)=0.}$

Det ger de två ekvationerna

    $\sin(\frac{x-\pi/5}{2})=0$ och $\cos(\frac{x+\pi/5}{2})=0$

vars lösningar uppenbarligen är 

    $x-\pi/5=2\pi\cdot n$ och $x+\pi/5=\pi+2\pi \cdot m$

där n och m är godtyckliga heltal (de behöver inte vara samma heltal).