Lösa tredjegradsekvation

theaskingpenguin skrev:

Hej jag fick denna uppgift 0=(x-3)(x+2)(x-5), man får 1 e poäng för det

men kom fram till att det blir 0 = x^3 - 6 x^2 - x + 30 vilket är en tredjegradsekvation. Vi har inte lärt oss hur man löser tredjegradsekvationer, är det något som jag har missat som gör det enklare att lösa?

Har du hört talas om nollprodukt metoden?

Alla polynom kan faktoriseras som en produkt av dess nollställen. Det polynomet är redan faktoriserat på nollställesform, det vill säga: nollställena är x=3, x=-2 och x=5. 

Eftersom du går matte 2 vet du säkert att alla andragradspolynom kan faktoriseras som a(x-x1)(x-x2). Samma sak gäller för polynom av högre grad.

naytte skrev:

Alla polynom kan faktoriseras som en produkt av dess nollställen. Det polynomet är redan faktoriserat på nollställesform, det vill säga: nollställena är x=3, x=-2 och x=5. 

Eftersom du går matte 2 vet du säkert att alla andragradspolynom kan faktoriseras som a(x-x1)(x-x2). Samma sak gäller för polynom av högre grad.

aaaa, ok jag hade glömt om det 

Smaragdalena skrev:

Har du hört talas om nollprodukt metoden?

theaskingpenguin skrev:

Hej jag fick denna uppgift 0=(x-3)(x+2)(x-5), man får 1 e poäng för det

men kom fram till att det blir 0 = x^3 - 6 x^2 - x + 30 vilket är en tredjegradsekvation. Vi har inte lärt oss hur man löser tredjegradsekvationer, är det något som jag har missat som gör det enklare att lösa? 

Ja, men endast för andragradsekvationer, funkar det samma då för tredjegradsekvationer?

Nollproduktmetoden fungerar för hur många faktorer som helst.

naytte skrev:

Alla polynom kan faktoriseras som en produkt av dess nollställen. Det polynomet är redan faktoriserat på nollställesform, det vill säga: nollställena är x=3, x=-2 och x=5. 

Eftersom du går matte 2 vet du säkert att alla andragradspolynom kan faktoriseras som a(x-x1)(x-x2). Samma sak gäller för polynom av högre grad.

Men vänta varför omvänds + och - tecknen när man får ut nolställerna från paranteserna?

Men vänta varför omvänds + och - tecknen när man får ut nolställerna från paranteserna?

Vilket värde skall x ha, om x-3 = 0?

Vilket värde skall x ha, om x+2 = 0?

Vilket värde skall x ha, om x-5 = 0?

Smaragdalena skrev:

Men vänta varför omvänds + och - tecknen när man får ut nolställerna från paranteserna?

Vilket värde skall x ha, om x-3 = 0?

Vilket värde skall x ha, om x+2 = 0?

Vilket värde skall x ha, om x-5 = 0?

OK!

Ett godtyckligt polynom $p\left(x\right)$ av grad n kan alltid skrivas på faktoriserad form enligt $p\left(x\right)$ = $k(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n)$, där $x_1$, $x_2$,  ... $x_n$ är polynomets nollställen och $k$ är en konstant. 

Eftersom ett nollställe är $x=-2$, blir faktorn $x+2$ istället.

Tillägg: 18 okt 2022 20:03

Beviset för detta är någonting som kallas för faktorsatsen. Den sägar att om $x=a$ är ett nollställe i polynomet $p\left(x\right)$, alltså $p\left(a\right)=0$, kommer det innehålla en faktor $(x-a)$. Det innebär att $p\left(x\right)=q\left(x\right)(x-a)$. Samma sak kan man sedan upprepa på $q\left(x\right)$ tills man bara har kvar polynom av grad 1.

naytte skrev:

Ett godtyckligt polynom $p\left(x\right)$ av grad n kan alltid skrivas på faktoriserad form enligt $p\left(x\right)$ = $k(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n)$, där $x_1$, $x_2$,  ... $x_n$ är polynomets nollställen och $k$ är en konstant. 

Eftersom ett nollställe är $x=-2$, blir faktorn $x+2$ istället.

---

Tillägg: 18 okt 2022 20:03

Beviset för detta är någonting som kallas för faktorsatsen. Den sägar att om $x=a$ är ett nollställe i polynomet $p\left(x\right)$, alltså $p\left(a\right)=0$, kommer det innehålla en faktor $(x-a)$. Det innebär att $p\left(x\right)=q\left(x\right)(x-a)$. Samma sak kan man sedan upprepa på $q\left(x\right)$ tills man bara har kvar polynom av grad 1.

hmm... OK!