Lösa rotekvation

Det är rätt att kvadrera VL och HL separat, men inte termvis!

$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2\ne a^2+b^2$

Så då ska jag tillämpa kvadreringsregeln på VL?

$$\begin{gathered} (\sqrt{x+2} + \sqrt{2x-3} {)}^2 = \\ = (\sqrt{x+2} {)}^2 +2\sqrt{x+2} · \sqrt{2x-3} + (\sqrt{2x-3} {)}^2 \end{gathered}$$

Lisa Mårtensson skrev:

 

$(a+b{)}^2=a^2+2ba+b^2$ 

$$\begin{gathered} \sqrt{x+2}+\sqrt{2x+3}=3 \\ {\left(\sqrt{x+2}+\sqrt{2x+3}\right)}^2=3^2 \\ \left({\sqrt{x+2}}^2\right)+2·\sqrt{x+2}·\sqrt{2x+3}+{\left(\sqrt{2x+3}\right)}^2=3^2 \end{gathered}$$


Ja, precis så. (Såg inte att du redan hade gjort så, förlåt.)

$2·\sqrt{x+2}·\sqrt{2x+3}$

Tack.

Då kan jag kvadrera första termen och sista termen i VL samt HL och få att:

$$\begin{gathered} (\sqrt{x+2}{)}^2=x+2 \\ (\sqrt{2x-3}{)}^2=2x-3 \\ {3}^2=9 \end{gathered}$$

Men den svåraste biten är den andra termen i VL som består av tre faktorer:

$2·\sqrt{x+2}·\sqrt{2x-3}$

Jag tänkte att jag skulle prova att flytta in 2 under rottecknet och det blir då 4.

Sedan använda att $\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$

så att $\sqrt{4·(x+2)·(2x-3)}$

Jag multiplicerar först ihop parenteserna:

$(x+2)(2x-3)=2x^2-3x+4x-6=2x^2+x-6$

Och därefter multiplicerar jag in 4. Allt sker under rottecknet.

$4·(2x^2+x-6)=8x^2+4x-24$

Eftersom dessa beräkningar är det som står under rottecknet ser det egentligen ut så här:

$\sqrt{8x^2+4x-24}$

Hela rotekvationen ser nu ut som följer:

$(x+2)+\sqrt{8x^2+4x-24}+(2x-3)=9$

OBS! Det blev fel tecken i tidigare kommentarer både av mig och Korra. Det ska vara (2x - 3), ej något plustecken där.

Är jag nu på rätt spår eller har jag bara krånglat till det ytterligare?

Du är på rätt spår.

Tack Anders W.

Då fortsätter jag väl i samma spår. Smaragdalena skrev att den här rotekvationen är lite krånglig, men att den egentligen ska gå att lösa med kunskaper från Ma2, vilket jag borde ha då jag tagit mig igenom Ma4 till och med.

Tar tacksamt emot råd.

Ja, rotekvationer ingår i Ma2c men inte av denna komplexitet. Som Mattelärare skulle jag nog inte ens våga ge denna uppgift som A-uppgift på en Ma2c skrivning. Smaragdalena, Smutstvätt och jag har lite olika uppfattningar om var dina uppgifter borde ligga.

Du kommer att få två lösningar när du löst färdigt men bara en kommer att vara lösning på det ursprungliga uttrycket. Så du måste pröva dina lösningar.

EDIT: Jag skrev fel det är inte som jag skrev Ma3c utan Ma2c där denna typ av rotekvationer introduceras, dock inte av denna komplexitet.

Du kanske ville ha ett tips hur du skulle gå vidare? Se till att få rottecknet ensamt på ena sidan och kvadrera en gång till. Du får en andragradsekvation att lösa. Denna ger dig två svar, som jag sade, varav den ena är en "falsk rot".

Man lärde sig principen för att lösa rotekvationer i Ma1c och PQ-formeln i Ma2.

$\sqrt{x+2}+\sqrt{2x-3}=3$

kvadrera båda sidor

$x+2+2\sqrt{(x+2)(2x-3)}+2x-3=9$

förenkla

$\sqrt{(x+2)(2x-3)}=5-\frac{3}{2}x$

kvadrera igen

$(x+2)(2x-3)=(5-\frac{3}{2}x)^2$

förenkla

$2x^2+x-6=25-15x+\frac{9}{4}x^2$

Multiplicera allt med 4 och gör ena ledet till 0

$x^2-64x+124=0$

Lös med pq-formeln (eller kvadratkomplettering)

$x=32\pm30$ d v s $x_1=62$ ch $x_2=2$

kontrollera rötterna i ursprungsekvationen får du göra själv

Jättesnyggt Smaragdalena.

Du har rätt att man har vad man behöver från gymnasiematten för att klara denna uppgift. Det gäller bara att tänka klart och använda kunskaperna rätt.

Jag gjorde på ett lite annat sätt från det att jag kommit fram till

$(x+2)+\sqrt{8x^2+4x-24} + (2x-3)=9$

Jag ser nu till att få rottecknet ensamt på ena sidan om likhetstecknet och sedan kvadrerar jag ännu en gång:

$$\begin{gathered} \sqrt{8x^2+4x-24} = 9-2+3-x-2x \\ \iff \sqrt{8x^2+4x-24} =10-3x \\ 8x^2+4x-24=(10-3x{)}^{2 } \\ \iff 8x^2+4x-24=100-60x+9x^2 \end{gathered}$$$-x^2-64x+124=0$

Förenklar och ställer upp uttrycket som en andragradsekvation:

$-x^2-64x+124=0$

Multiplicerar alla termer med (-1) för att få $x^2$-termen positiv:

$x^2-64+124=0$

Löser andragradsekvationen medelst kvadratkomplettering:

$$\begin{gathered} x^2-64x=-124 \\ {x}^2-64x+1024=-124+1024 \\ (x-32{)}^2=900 \end{gathered}$$

Drar roten ur båda led:

$$\begin{gathered} x-32=\pm \sqrt{900} \\ x-32=\pm 30 \\ {x}_1=32-30=\mathbf{2} \\ {x}_2=32+30=\mathbf{62} \end{gathered}$$

Jag prövar lösningarna i rotekvationen genom insättning för att kunna utesluta falska rötter.

Talet x=2 är en äkta rot ty $\sqrt{2·2}+\sqrt{2·2-3} =3$

Men för x=62 får vi $$\begin{gathered} \sqrt{62+2}+\sqrt{2·62-3} \\ \iff 8+11=19\ne 3 \end{gathered}$$

Detta är alltså en falsk rot.

Svar: Lösningen på rotekvationen är $\mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{2}$

 (När jag fick upp den här sidan stod det "Math processing error" på varenda formel - och så skrev du "Snygg lösning"! Det löste sig när jag laddade om sidan.)

Du har också gjort en snygg lösning, jag undrar bara om en sak - det står "=0" längst till höger när du har kvadrerat för andra gången - har det bara  hamnat där, eller?!

En varning dock: Innan man sätter igång och kvadrerar till höger och vänster om vartannat så bör man ta sig en funderare på vilka tal ($x$) som kan komma ifråga som lösningar till ekvationen. För vilka tal $x$ är ekvationen meningsfull?

Det är detta som är hela poängen med rotekvationer: Att tänka på definitionsmängder och värdemängder till de funktioner som ingår i ekvationen. 

Ekvationen $\sqrt{x+2}+\sqrt{2x-3}=3$ är meningsfull om $x+2\geq 0$ samtidigt som $2x-3\geq 0$, vilket betyder att $x\geq 1.5$; det är över intervallet $[1.5, \infty)$ som lösningar till ekvationen ska sökas.

Även om man tar sig tid och funderar på vilka värden på $x$ om är tänkbara, så behöver man ABSOLUT kontrollera sina framräknade värden i ursprungsekvationen. (Den här gången vara båda rötterna större än 1,5, men det var ändå bara den ena som fungerade.)

Ja,  i denna uppgift har man ju kvadrerat två gånger, vilket innebär att falska rötter kan ha uppstått i något av de stegen. Man kan fundera på hur uppgiften skulle lösts om det istället stått $-3$ i HL i den ursprungliga ekvationen.

Smaragdalena skrev:

Även om man tar sig tid och funderar på vilka värden på $x$ om är tänkbara, så behöver man ABSOLUT kontrollera sina framräknade värden i ursprungsekvationen. (Den här gången vara båda rötterna större än 1,5, men det var ändå bara den ena som fungerade.)

 Om man läser din lösning så ser man att utöver kravet att $x \geq 1.5$ så måste $5-1.5x \geq 0$ eftersom värdemängden för kvadratrot-funktionen är $[0,\infty)$, vilket medför kravet $x \leq 10/3$. Ekvationens lösningar ligger alltså i intervallet $[1.5, 10/3]$.

Smaragdalena skrev:

 (När jag fick upp den här sidan stod det "Math processing error" på varenda formel - och så skrev du "Snygg lösning"! Det löste sig när jag laddade om sidan.)

Du har också gjort en snygg lösning, jag undrar bara om en sak - det står "=0" längst till höger när du har kvadrerat för andra gången - har det bara  hamnat där, eller?!

 Ja. ”=0” har bara hamnat där, blev väl kvar från någon tidigare formulering.