Lösa olikheter, bråk

Om du absolut vill undvika att dela upp olikheten i olika intervall, kan du lösa ekvationen VL = HL och sedan undersöka vilken av funktionerna f (x ) = VL och f(x) = HL som ligger överst i vilken dela v grafen.

notsogenius skrev:

Jag ska lösa olikheten $\frac{2x^2}{x+2}<x-2$ och undrar varför det första tillvägagångssättet blir fel? 

...

Men vad är det som blir fel i det första sättet att räkna? 

Svar på din fråga är att du gör flera fel.

• Först byter du riktning på olikhetstecknet utan att du motiverar varför (1 i bilden).
• Sedan byter du tillbaka, återigen uan motivering (2 i bilden).
• Sedan förutsätter du att x+2 < 0 endast med motiveringen att fallet x+2 > 0 inte ger några lösningar till olikheten (3 i bilden).

Du behöver motivera dina beräkningar och slutsatser mer tydligt, exempelvis så här:

• Vi antar att x+2 > 0, dvs att x > -2. Då gäller 2x² < (x+2)(x-2), vilket ger oss olikheten x² < -4. Den olikheten saknar lösning, vilket innebär att olikheten saknar lösningar då x+2 > 0.
• Vi antar då istället aatt x+2 < 0, dvs att x < -2. Då gäller 2x² > (x+2)(x-2), vilket ger oss olikheten x² > -4. Det stämmer för alla möjliga värden på x. Av dessa är det endast de x som uppfyller x < -2 som är giltiga för den olikheten.

Yngve skrev:

notsogenius skrev:

Jag ska lösa olikheten $\frac{2x^2}{x+2}<x-2$ och undrar varför det första tillvägagångssättet blir fel? 

...

Men vad är det som blir fel i det första sättet att räkna? 

Svar på din fråga är att du gör flera fel.

• Först byter du riktning på olikhetstecknet utan att du motiverar varför (1 i bilden).
• Sedan byter du tillbaka, återigen uan motivering (2 i bilden).
• Sedan förutsätter du att x+2 < 0 endast med motiveringen att fallet x+2 > 0 inte ger några lösningar till olikheten (3 i bilden).

Du behöver motivera dina beräkningar och slutsatser mer tydligt, exempelvis så här:

• Vi antar att x+2 > 0, dvs att x > -2. Då gäller 2x² < (x+2)(x-2), vilket ger oss olikheten x² < -4. Den olikheten saknar lösning, vilket innebär att olikheten saknar lösningar då x+2 > 0.
• Vi antar då istället aatt x+2 < 0, dvs att x < -2. Då gäller 2x² > (x+2)(x-2), vilket ger oss olikheten x² > -4. Det stämmer för alla möjliga värden på x. Av dessa är det endast de x som uppfyller x < -2 som är giltiga för den olikheten.

Du antar att x+2>0 men hur kommer du fram till att $2x^2<(x+2)(x-2)$? 

Inser att om x är ett negativt tal så uppstår det ju ett fel vid multiplikationen av (x+2) då olikhetstecknet ska byta tecken. Det kan man misstänka har skett när x²<-4 inte har någon lösning. Så då kan man ju testa x²>-4 som är sant. Men hur jag sedan kommer vidare från x²>-4 till x>-2 har jag svårt att förstå matematiskt (om man bortser från hur jag gjorde i det andra sättet).

notsogenius skrev:

Du antar att x+2>0 men hur kommer du fram till att $2x^2<(x+2)(x-2)$? 

Så här:

Olikheten lyder $\frac{2x^2}{x+2}<>$

Till att börja med kan vi konstatera att x inte får ha värdet -2 eftersom vänsterledet då kommer att vara odefinierat. 

I fortsättningen antar vi att x $\neq$ -2.

Vi antar att x+2 > 0, dvs att vänsterledets nämnare är ett positivt tal. Vi kan därför multiplicera hela olikheten med detta positiva tal utan att vända på olikhetstecknet och vi får då efter förenkling 2x² < (x+2)(x-2).

Inser att om x är ett negativt tal så uppstår det ju ett fel vid multiplikationen av (x+2) då olikhetstecknet ska byta tecken.

Nej, det är om x+2 är ett negativt tal som vi behöver vända på olikhetstecknet.

Det kan man misstänka har skett när x²<-4 inte har någon lösning. Så då kan man ju testa x²>-4 som är sant. Men hur jag sedan kommer vidare från x²>-4 till x>-2 har jag svårt att förstå matematiskt (om man bortser från hur jag gjorde i det andra sättet).

Följ mitt lösningsförslag igen. Olikheten x² > -4 är endast giltig då vänsterledets nämnare är mindre dre än 0, dvs då x+2 < 0, dvs då x < -2.