Lösa logaritmekvation

Hej!

Hur löser man följande?

$x^{l g x} = \frac{x^{3}}{100}$

Jag gjorde såhär:

$X^{2} = \frac{X^{3}}{100} 100 X^{2} = X^{3} 100 = \frac{x^{3}}{x^{2}} 100 = x^{1} x = 100$

Detta verkar fungera, men ett annat korrekt svar är att x är 10. Enligt facit ska man logaritmera båda leden och sätta lgx = t, som jag inte riktigt förstår hur man gör.

Om jag försöker logaritmera båda leden så slutar det bara ungefär som samma uträkning som ovan..

Så undrar hur gör man enligt facit här och varför måste man sätta lgx = t ? Varför kan inte lgx vara just lgx?

Jag tror jag löste det:

$x^{l g x} = \frac{x^{3}}{100}$

$t^{2} = 3 t - 2 t^{2} - 3 t + 2 = 0$

Sedan pq så får vi logaritmerna för 10 och 100.

Dock har jag redan läst facit så känns inte som en vinst direkt för jag hade inte löst det utan att ha läst facit. Så jag undrar då om när det överlag kan vara bra att ersätta ett uttryck med en enkel variabel på det här sättet? Och - hur kommer man fram till samma svar utan att ersätta x med t?

Hur kom du fram till att $\displaystyle x^{\lg x}=x^2$ ?

${(10^{l g x})}^{l g x} l g x \times l g x 10^{l g x} * 10^{l g x} x x x^{2}$

Tror det var så ^^'

Det stämmer kanske inte

Nej, det stämmer inte. Jag kan inte riktigt följa hur du har tänkt, men det är inte rätt.

Anledningen till att facit föreslår en substitution är att det blir mer överskådligt på det sättet. Det blir väldigt klumpigt att syssla med termer som $\displaystyle \lg^2 x$ i typ pq-formeln.

Dkcre skrev:

[...] Så jag undrar då om när det överlag kan vara bra att ersätta ett uttryck med en enkel variabel på det här sättet?

Ja, det är ofta bra att tillfälligt ersätta komplicerade uttryck med enklare uttryck. Det ger bättre överblick och gör det enklare att urskilja mönster som går att utnyttja. Plus att det minskar risken för skrivfel.

Och - hur kommer man fram till samma svar utan att ersätta x med t?

Det går utmärkt:

$x^{\lg(x)}=\frac{x^3}{100}$

Logaritmera:

$\lg(x^{\lg(x)})=\lg(\frac{x^3}{100})$

Logaritmlag I både VL och HL:

$\lg(x)\cdot\lg(x)=\lg(x^3)-\lg(100)$

Förenklingar:

$(\lg(x))^2=\lg(x^3)-2$

Logaritmlag I HL:

$(\lg(x))^2=3\lg(x)-2$

Samla alla termer på ena sidan:

$(\lg(x))^2-3\lg(x)+2=0$

Pq-formeln:

$\lg(x)=\frac{3}{2}\pm\sqrt{\frac{9}{4}-\frac{8}{4}}$

$\lg(x)=\frac{3}{2}\pm\frac{1}{2}$

$\lg(x_1)=2$

$\lg(x_2)=1$

Detta ger oss $x_1=100$ och $x_2=10$

Jag skulle använda en subsition så här y=log(x)

Yngve skrev:
Dkcre skrev:

[...] Så jag undrar då om när det överlag kan vara bra att ersätta ett uttryck med en enkel variabel på det här sättet?

Ja, det är ofta bra att tillfälligt ersätta komplicerade uttryck med enklare uttryck. Det ger bättre överblick och gör det enklare att urskilja mönster som går att utnyttja. Plus att det minskar risken för skrivfel.

Och - hur kommer man fram till samma svar utan att ersätta x med t?

Det går utmärkt:

$x^{\lg(x)}=\frac{x^3}{100}$

Logaritmera:

$\lg(x^{\lg(x)})=\lg(\frac{x^3}{100})$

Logaritmlag I både VL och HL:

$\lg(x)\cdot\lg(x)=\lg(x^3)-\lg(100)$

Förenklingar:

$(\lg(x))^2=\lg(x^3)-2$

Logaritmlag I HL:

$(\lg(x))^2=3\lg(x)-2$

Samla alla termer på ena sidan:

$(\lg(x))^2-3\lg(x)+2=0$

Pq-formeln:

$\lg(x)=\frac{3}{2}\pm\sqrt{\frac{9}{4}-\frac{8}{4}}$

$\lg(x)=\frac{3}{2}\pm\frac{1}{2}$

$\lg(x_1)=2$

$\lg(x_2)=1$

Detta ger oss $x_1=100$ och $x_2=10$

Tack så mycket för svaret, jag förstår :)

Svara

Visa senaste svar