31 svar

356 visningar

Lösa ett annat ekvationssystem med modolo

Jag ska nu ge mig på och lösa denna uppgift ovan. Jag skapade en tråd, för att förstå själva tanken bakom det. https://www.pluggakuten.se/trad/losa-ett-ekvationsystemt-med-modolo/ för den intresserade=)

jag vill ju få det som ett uttryck i en variabel, så om jag börjar med

$5x+y=2$ som jag kallar $(1)$

$8x+2y=1$ som jag kallar $(2)$

om jag tar (2): $2y=1-8x$ utnyttja mod 31 så får vi $2=1-8$ så det var ju inte så hjälpsamt....

då testar jag, andra metoden: från ekvation (1): $y=2-5x$ och utnyttjar 31 där också. Men det blir ändå densamma...

Så testar en annan, den trejde metoden. att addera $y$ till bägge led i (1):

$5x+y+y=2+y \Rightarrow 5x+2y=2+y \Rightarrow 5x+y=2$ näääe. Blir bara fel.

Här gäller det återigen att få det hela till en ekvation som bara innehåller en variabel.

Vi kan lösa ut ur $(1)$ att $y=2-5x$ . Insättning i $(2)$ ger då:

$8x+2(2-5x)=1$ . Kan du lösa denna?

AlvinB skrev:
Här gäller det återigen att få det hela till en ekvation som bara innehåller en variabel.
Vi kan lösa ut ur $(1)$ att $y=2-5x$ . Insättning i $(2)$ ger då:
$8x+2(2-5x)=1$ . Kan du lösa denna?

Yes. $x=\frac{3}{2}$ och då substituerar jag in det i valfri av dessa ekvationer? då tog jag (1): och fick $y=\frac{-11}{2}$

men när ska vi syssla med mod 31 då?

y=3/2 är inte en lösning som existerar modulo 31. Lösningen måste vara ett heltal.

Visa steg för steg hur du löser ekvationen 8x+2(2-5x)=1 modulo 31.

Smaragdalena skrev:
y=3/2 är inte en lösning som existerar modulo 31. Lösningen måste vara ett heltal.
Visa steg för steg hur du löser ekvationen 8x+2(2-5x)=1 modulo 31.

Ja men det var det som var frågan. AlvinB frågade om jag kunde lösa ut $x$ i $8x+2(2-5x)=1$ , då får jag $x=\frac{3}{2}$ för antar det var det han menade? Men då är det fel, för det är ju inte heller ett heltal

Börja med att förenkla ekvationen.

Smaragdalena skrev:
Börja med att förenkla ekvationen.

$4-2x=1$

Fortsätt förenkla! Vad blir 2x lika med?

Smaragdalena skrev:
Fortsätt förenkla! Vad blir 2x lika med?

$$2x=1-4$ \Rightarrow 2x=-3$$ såg att jag glömde minustecknet framför $-\frac{3}{2}$ om det är det som är kontentan.

Vad är -3 kongruent med modulo 31?

Smaragdalena skrev:
Vad är -3 kongruent med modulo 31?

28? så x=28?

Nej, 2x = 28. Vad är x?

Var inte ekvationen 4 - 2x = 1? Hur får ni det till 2x = 28?

PATENTERAMERA skrev:
Var inte ekvationen 4 - 2x = 1? Hur får ni det till 2x = 28?

Med modolo 31?

Smaragdalena skrev:
Nej, 2x = 28. Vad är x?

Jaha. Så man ska lösa ut -3 mod 31. då får vi 28.

Sen 2x=28 =>14?

4 - 28 = 7 $\neq$ 1 mod 31.

4 - 2x = 1 $\Rightarrow$ 2x = 3 $\Rightarrow$ x = ?

PATENTERAMERA skrev:
4 - 2x = 1 $\Rightarrow$ 2x = 3 $\Rightarrow$ x = ?

jag e lite förvirrad nu, men x=-3/2 ? (men då tar jag inte hänsyn till någon modolo nu)

Vi har ekvationen 2x = 3.

Vi vill få bort 2:an. Finns det något heltal n sådant att 2n = 1 mod 31?

PATENTERAMERA skrev:
Vi har ekvationen 2x = 3.
Vi vill få bort 2:an. Finns det något heltal n sådant att 2n = 1 mod 31?

snabbt borde det ju bli 15, eftersom 2*15=30,, 30 mod 31 ger resten 1.

30 är kongruent med -1, inte med 1 (mod 31).

sannakarlsson1337 skrev:
PATENTERAMERA skrev:
Vi har ekvationen 2x = 3.
Vi vill få bort 2:an. Finns det något heltal n sådant att 2n = 1 mod 31?
snabbt borde det ju bli 15, eftersom 2*15=30,, 30 mod 31 ger resten 1.

Nej, det ger resten 30! Dessutom verkar PATENTERAMERA ha skrivit fel, det är ju resten 3 vi vill ha!

Nu är jag snurrig....

2 x 16 = 32 = 31 + 1 = 1.

Så om vi multiplicerar vår ekvation med 16 så får vi

32x = 16 $\cdot$ 3 $\Leftrightarrow$

1 $\cdot$ x = 32 +16 $\Leftrightarrow$

x = 1 + 16 = 17.

sannakarlsson1337 skrev:
Nu är jag snurrig....

Ibland blir det felskrivningar i långa trådar, det är sådant som händer!

Men i grunden handlar det om 2x = 3, i Z31

Du måste hitta ett heltal mellan 0 och 30 och multiplicera det med 2, så att resultatet har resten 3 när du dividerar med 31. Du kan gissa och pröva dig fram om det känns förvirrande.

Så här tänker jag: 3 är kongruent med 34 (mod 31). Om 2x = 34 så är x...

sannakarlsson1337 skrev:
PATENTERAMERA skrev:
Vi har ekvationen 2x = 3.
Vi vill få bort 2:an. Finns det något heltal n sådant att 2n = 1 mod 31?
snabbt borde det ju bli 15, eftersom 2*15=30,, 30 mod 31 ger resten 1.

Nja, 30 = 31 - 1 = -1, men det går också att använda.

Multiplicera ekvationen med 15

30x = 15 $\cdot$ 3 $\Leftrightarrow$

-1 $\cdot$ x = 30 + 15 $\Leftrightarrow$

-x = -1 + 15 = 14 $\Leftrightarrow$

x = -14 = -14 + 31 = 17.

Glöm inte att räkna ut y.

Vi ska hitta ett tal, $n$ så $2n=1 \mod 31$

man kan testa alla tal upp mot $30$ (inte 31, eftersom man räknar med 0?) men om man vill göra det med hjälp av algebra, kan man inte använda Euklides då? Eller kanske med Eulers formula?

Jag tänkte nog att man skulle få fram det lite enklare. 1 = 1 + 31 = 32 = 2 $\cdot$ 16.

PATENTERAMERA skrev:
Jag tänkte nog att man skulle få fram det lite enklare. 1 = 1 + 31 = 32 = 2 $\cdot$ 16.

ja börjar förstå nu.

Men hur gör man för $y$ då?

Du har ju enligt tidigare att y = 2 - 5x. Sätt in framräknade värdet på x och förenkla.

Svara

Visa senaste svar