Lösa en uppgift med en transformation och en egenvektor

Hej alla!

Jag har en uppgift som jag behöver hjälp med. Uppgiften är att ta reda på om polynomet $\mathbf{p}(t)=4-2 t-3 t^{2}$ är en egenvektor till en given transformation $T: \mathbb{P}^{2} \rightarrow \mathbb{P}^{2}$ i basen $\mathcal{B}=\left\{1, t, 1-t^{2}\right\}$ och i sådana fall vad egenvärdet är.

Jag har försökt lösa uppgiften genom att först hitta matrisen för $T$ i standardbasen för $\mathbb{P}^{2}$ och sedan använda ändring av bas för att hitta matrisen för $T$ i basen $\mathcal{B}$. Detta gav mig matrisen som är given i uppgiften:

$[T]_{\mathcal{B}}=\left[\begin{array}{ccc} 8 & 0 & -2 \ -8 & 4 & 4 \ 6 & 0 & 0 \end{array}\right]$

För att ta reda på om $\mathbf{p}(t)$ är en egenvektor till $T$, måste jag lösa ekvationen $[T]_{\mathcal{B}}[\mathbf{p}(t)]_{\mathcal{B}} = \lambda [\mathbf{p}(t)]_{\mathcal{B}}$, där $\lambda$ är egenvärdet. Jag har försökt lösa denna ekvation, men jag är inte säker på om mina beräkningar är korrekta.

Så, jag undrar om någon kan hjälpa mig med denna uppgift? Vilka steg bör jag ta för att ta reda på om $\mathbf{p}(t)$ är en egenvektor till $T$ och vad är i sådana fall egenvärdet?

Tack på förhand!