Lösa ekvationer med logaritmer

Felet sker i steg 2, 

$$\begin{gathered} -\log \left(3\right)+\log \left(4\right)=\log \left(4\right)-\log \left(3\right) \\ \log \left(a\right)-\log \left(b\right)=\log \left(\frac{a}{b}\right) \end{gathered}$$

sedan står det fel i facit, $x=\pm \frac{1}{2}$

$$\begin{gathered} x = \frac{1}{2} \iff \log (1-\frac{1}{2})+\log (1+\frac{1}{2})+\log \left(4\right)=\log \left(3\right) \\ \log \left(\frac{1}{2}\right)+\log \left(\frac{3}{2}\right)+\log \left(4\right)=\log \left(3\right) \\ \log \left(\right(\frac{1}{2}\frac{3}{2}\left)4\right)=\log \left(3\right) \\ \log (\frac{3}{4}*4)=\log \left(3\right) \\ \log \left(3\right)=\log \left(3\right) \end{gathered}$$

Jag testade inte med -1/2 men det stämmer nog eftersom log(x) > 0 är fortfarande uppfyllt för x=-1/2 vad jag kan se.

Dracaena skrev:

Felet sker i steg 2, 

$$\begin{gathered} -\log \left(3\right)+\log \left(4\right)=\log \left(4\right)-\log \left(3\right) \\ \log \left(a\right)-\log \left(b\right)=\log \left(\frac{a}{b}\right) \end{gathered}$$

sedan står det fel i facit, $x=\pm \frac{1}{2}$

$$\begin{gathered} x = \frac{1}{2} \iff \log (1-\frac{1}{2})+\log (1+\frac{1}{2})+\log \left(4\right)=\log \left(3\right) \\ \log \left(\frac{1}{2}\right)+\log \left(\frac{3}{2}\right)+\log \left(4\right)=\log \left(3\right) \\ \log \left(\right(\frac{1}{2}\frac{3}{2}\left)4\right)=\log \left(3\right) \\ \log (\frac{3}{4}*4)=\log \left(3\right) \\ \log \left(3\right)=\log \left(3\right) \end{gathered}$$

Jag testade inte med -1/2 men det stämmer nog eftersom log(x) > 0 är fortfarande uppfyllt för x=-1/2 vad jag kan se.

men facit för över -lg3 till HL istället för att sätta ihop det med lg4. vad är enklast att göra?

Dracaena skrev:

Felet sker i steg 2, 

$$\begin{gathered} -\log \left(3\right)+\log \left(4\right)=\log \left(4\right)-\log \left(3\right) \\ \log \left(a\right)-\log \left(b\right)=\log \left(\frac{a}{b}\right) \end{gathered}$$

sedan står det fel i facit, $x=\pm \frac{1}{2}$

$$\begin{gathered} x = \frac{1}{2} \iff \log (1-\frac{1}{2})+\log (1+\frac{1}{2})+\log \left(4\right)=\log \left(3\right) \\ \log \left(\frac{1}{2}\right)+\log \left(\frac{3}{2}\right)+\log \left(4\right)=\log \left(3\right) \\ \log \left(\right(\frac{1}{2}\frac{3}{2}\left)4\right)=\log \left(3\right) \\ \log (\frac{3}{4}*4)=\log \left(3\right) \\ \log \left(3\right)=\log \left(3\right) \end{gathered}$$

Jag testade inte med -1/2 men det stämmer nog eftersom log(x) > 0 är fortfarande uppfyllt för x=-1/2 vad jag kan se.

Jag förstår inte varför facit säger att ekvationen saknar lösning? när man sätter in 1/2 som x får man ju HL=VL varför saknas det då lösning om x funkar?

Det står fel i facit. Ekvationen har lösningarna $x=\pm1/2$. De slarvar när de skriver

$x^2=\dfrac{1}{4}\iff x=\pm1$.

Det borde vara

$x^2=\dfrac{1}{4}\iff x=\pm\dfrac{1}{2}$

Ser du varför?

AlvinB skrev:

Det står fel i facit. Ekvationen har lösningarna $x=\pm1/2$. De slarvar när de skriver

$x^2=\dfrac{1}{4}\iff x=\pm1$.

Det borde vara

$x^2=\dfrac{1}{4}\iff x=\pm\dfrac{1}{2}$

Ser du varför?

Ja, jag fick fram att x=+- 1/2

jag förstår att -1/2 inte stämmer då lösning saknas för log(negativa tal). men när jag kontrollerar 1/2 i ursprungsekvationen ger det rätt lösning. Jag unrade därför varför facit säger att lösningar saknas när x=1/2 stämde.

Facit har också skrivit att man ska utföra kontrollen i ekvation 1, vilket inte är den ursprungliga ekvationen utan den förenklade. Utför man knotroll med x=1/2 i ursprungliga ekvationen: lg(1-x) + lg(1+x) + lg(4) = lg(3) så kommer man fram till att HL = VL alltså att lösningen stämmer.

Däremot om man utför kontroll med x=1/2 i ekvation 1 som är den förenklade ekvationen så saknas lösning, vilket är vad facit verkar ha gjort.

Jag undrade därför vad som var rätt och fel. Ska kontrollen göras i ursprungliga ekvationen eller i ekvationen som man har förenklat?

Det är fel i facit (strunta alltså i vad facit säger). Faktum är att både $x=1/2$ och $x=-1/2$ är lösningar. Det är sant att logaritmen för negativa tal är odefinierad, men om du stoppar in $x=-1/2$ blir det inga negativa tal i logaritmerna!

När man utför en kontroll går det att stoppa in i vilken ekvation man vill, men det är smart att använda den ursprungliga ekvationen som står i uppgiften eftersom man kan ha gjort fel i något av stegen när man förenklar.

AlvinB skrev:

Det är fel i facit (strunta alltså i vad facit säger). Faktum är att både $x=1/2$ och $x=-1/2$ är lösningar. Det är sant att logaritmen för negativa tal är odefinierad, men om du stoppar in $x=-1/2$ blir det inga negativa tal i logaritmerna!

När man utför en kontroll går det att stoppa in i vilken ekvation man vill, men det är smart att använda den ursprungliga ekvationen som står i uppgiften eftersom man kan ha gjort fel i något av stegen när man förenklar.

Det stämmer, efter kontroll av +- 1/2 får jag VL=HL. Alttså har ekvationen lösningarna +-1/2

Tusen tack för hjälpen!