Lösa ekvationen (Logaritmer) (Matematik/Universitet)

Tomte123 skrev:
Hej!
Jag ska lösa ekvationen ln(x^4) = ln(x^6). Enligt uppgiften kan vi bortse från multiplicitet.
Hur ska man tänka? Kan verkligen den här likheten stämma?

$\ln (x^{4}) = \ln (x^{6}) \Rightarrow e^{\ln (x^{4})} = e^{\ln (x^{6})} \Rightarrow x^{4} = x^{6} \Rightarrow x^{6} - x^{4} = 0 \Rightarrow x^{4} (x^{2} - 1) = 0 x_{1} = 0 x_{2} = 1 x_{3} = (- 1)$ Ändrade från basen 10 till basen e eftersom att det inte är lg utan ln

Korra skrev:
Tomte123 skrev:
Hej!
Jag ska lösa ekvationen ln(x^4) = ln(x^6). Enligt uppgiften kan vi bortse från multiplicitet.
Hur ska man tänka? Kan verkligen den här likheten stämma?
$\ln (x^{4}) = \ln (x^{6}) \Rightarrow 10^{\ln (x^{4})} = 10^{\ln (x^{6})} \Rightarrow x^{4} = x^{6} \Rightarrow x^{6} - x^{4} = 0 \Rightarrow x^{4} (x^{2} - 1) = 0 x_{1} = 0 x_{2} = 1 x_{3} = (- 1)$

Eftersom det står "ln" är basen e, inte 10, annars är det rätt tänkt - men glöm inte att kontrollera svaren!

Tack så mycket! Nu vet jag hur man kan göra :-)

Smaragdalena skrev:
Korra skrev:
Tomte123 skrev:
Hej!
Jag ska lösa ekvationen ln(x^4) = ln(x^6). Enligt uppgiften kan vi bortse från multiplicitet.
Hur ska man tänka? Kan verkligen den här likheten stämma?

Eftersom det står "ln" är basen e, inte 10, annars är det rätt tänkt - men glöm inte att kontrollera svaren!

$\ln (x^{4}) = \ln (x^{6}) \Rightarrow e^{\ln (x^{4})} = e^{\ln (x^{6})} \Rightarrow x^{4} = x^{6} \Rightarrow x^{6} - x^{4} = 0 \Rightarrow x^{4} (x^{2} - 1) = 0 x_{1} = 0 x_{2} = 1 x_{3} = (- 1)$

Åh så klantigt. (Intalade mig själv i huvudet när jag läste av uppgiften "lg x upphöjt i 4" Hehe. :P

EDIT: Svarskontroll -> $1 . \ln (0^{4}) = \ln (0^{6}) 2 . \ln (1^{4}) = \ln (1^{6}) 3 . \ln ((- 1)^{4}) = \ln ((- 1)^{6})$

Hej!

Börja med att fundera över för vilka tal $y$ som logaritmen $\ln y$ är definierad. Svaret är att $y$ måste vara strikt positivt, $y>0$ .

Med hjälp av en logaritmlag kan ekvationen skrivas $4\ln x = 6\ln x$ som är samma sak som ekvationen $2\ln x = 0$ .

Man skulle kunna dividera med talet $2$ och få ekvationen $\ln x=0$ , vars enda lösning är $x=1$ . Men då missar man den ursprungliga ekvationens andra lösning. Om man inte dividerar bort talet $2$ så kan man använda samma logaritmlag igen för att skriva ekvationen $\ln x^2=0$ , vilket ger ekvationen $x^2=1$ .

Resultat: Ekvationen $\ln x^4=\ln x^6$ har de två lösningarna $x=1$ och $x=-1$ .

De övriga inläggen i denna tråd tänkte inte på att logaritmen för talet noll ( $\ln 0$ ) inte är definierad. Det går alltså inte att låtsas som att logaritmen inte fanns och se problemet som en ren polynomekvation.

Korra skrev:
Smaragdalena skrev:
Korra skrev:
Tomte123 skrev:
Hej!
Jag ska lösa ekvationen ln(x^4) = ln(x^6). Enligt uppgiften kan vi bortse från multiplicitet.
Hur ska man tänka? Kan verkligen den här likheten stämma?

Eftersom det står "ln" är basen e, inte 10, annars är det rätt tänkt - men glöm inte att kontrollera svaren!

$\ln (x^{4}) = \ln (x^{6}) \Rightarrow e^{\ln (x^{4})} = e^{\ln (x^{6})} \Rightarrow x^{4} = x^{6} \Rightarrow x^{6} - x^{4} = 0 \Rightarrow x^{4} (x^{2} - 1) = 0 x_{1} = 0 x_{2} = 1 x_{3} = (- 1)$

Åh så klantigt. (Intalade mig själv i huvudet när jag läste av uppgiften "lg x upphöjt i 4" Hehe. :P

EDIT: Svarskontroll -> $1 . \ln (0^{4}) = \ln (0^{6}) 2 . \ln (1^{4}) = \ln (1^{6}) 3 . \ln ((- 1)^{4}) = \ln ((- 1)^{6})$

Detta är fel. Logaritmen av talet noll existerar inte.

Albiki skrev:

Detta är fel. Logaritmen av talet noll existerar inte.

Ja, just det, e kan inte upphöjas till något som gör att det blir 0.
Men gränsvärdet är väl 0 om man gör på följande vis? det betyder inte att det är en lösning men jag undrar bara.
$x \to \infty \frac{1}{e^{x}}$

Albiki - gissa varför jag skrev att man skulle kolla lösningarna i ursprungsekvationen! Det verkar som att du drar förhastade slutsatser.

Smaragdalena skrev:
Korra skrev:
Tomte123 skrev:
Hej!
Jag ska lösa ekvationen ln(x^4) = ln(x^6). Enligt uppgiften kan vi bortse från multiplicitet.
Hur ska man tänka? Kan verkligen den här likheten stämma?
[...]
Eftersom det står "ln" är basen e, inte 10, annars är det rätt tänkt - men glöm inte att kontrollera svaren!

Jag håller med om att en kontroll av svaren hade resulterat i frågetecknen kring svaret x=0, men har svårt att smälta att personen tänkt rätt enligt dig när den inte reflekterat över logaritmfunktionen och vilka värden som är tillåtna; särskilt som detta inlägg är postat på den allra högsta nivån (Universitet).

Jag skulle själv ha tänkt så, och sedan insett att lösningarna $x = 0$ var falska lösningar. Ser du något fel i det?

Smaragdalena skrev:
Jag skulle själv ha tänkt så, och sedan insett att lösningarna $x = 0$ var falska lösningar. Ser du något fel i det?

Allt som Albiki föreslår är det ideella förstår du, Albiki gör och har aldrig fel. (Ironi)

Vissa är här för att hjälpa och andra är här för att skryta.