lösa ekvationen! (Matematik/Matte 4/Grafer och asymptoter)

Visa hur du har kommit fram till lösningarna också, inte bara lösningarna.

Handlar uppgiften om att lösa ekvationen cos((3x)²)=1, som du har skrivit, eller (cos(3x))²=1 som även kan skrivas cos²3x = 1 ?

Skriv om första lösningen så att den blir $x=\frac{3\pi}{12}+\frac{2\pi n}{3}$ .

Markera alla lösningar i enhetscirkeln.

Försök att se ett mönster.

Yngve skrev:
Skriv om första lösningen så att den blir $x=\frac{3\pi}{12}+\frac{2\pi n}{3}$ .
Markera alla lösningar i enhetscirkeln.
Försök att se ett mönster.

Jag har skrivit om de i en av mina försök, men måste jag addera VL i alla lösningar tillsammans och HL i alla lösningar tillsammans?
Eller måste jag få en svar för varje lösning och sen samla alla svar av varje svar och få svaret som finns i facit?
Mitt problem är jag vet inte vilket sätt måste jag jobba med!

Yngve skrev:
Skriv om första lösningen så att den blir $x=\frac{3\pi}{12}+\frac{2\pi n}{3}$ .
Markera alla lösningar i enhetscirkeln.
Försök att se ett mönster.

då kan vi skriva
x=π/4*3/3+2πn/3= 3π/12+2πn/3

Yngve skrev:
Skriv om första lösningen så att den blir $x=\frac{3\pi}{12}+\frac{2\pi n}{3}$ .
Markera alla lösningar i enhetscirkeln.
Försök att se ett mönster.

Jag har uppnått hit.

Yngve skrev:
Skriv om första lösningen så att den blir $x=\frac{3\pi}{12}+\frac{2\pi n}{3}$ .
Markera alla lösningar i enhetscirkeln.
Försök att se ett mönster.

Är den rätt?

Har du ritat in alla dina lösningar i enhetscirkeln?

Sara Ha skrev:
...
Mitt problem är jag vet inte vilket sätt måste jag jobba med!

Enklaste metoden:

Rita en enhetscirkel.
Dela in den i 24 lika stora tårtbitar. Varje tårtbit motsvarar då $\frac{\pi}{12}$ radianer. Det enklaste sättet att göra detta är att dela in varje kvadrant i 3 lika stora delar och sedan dela in varje del i 2 lika stora delar. 4*3*2 = 24.
Markera dina 4 "huvudlösningar" i enhetscirkeln, dvs $\frac{\pi}{12}, \frac{3\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}, \frac{7\pi}{12}$ .
Markera de fyra första "extralösningarna" i enhetscirkeln, dvs de där n = 1, dvs $\frac{\pi}{12}+\frac{8\pi}{12}$ o.s.v.
Markera de fyra nästa "extralösningarna" i enhetscirkeln, dvs de där n = 2, dvs $\frac{\pi}{12}+\frac{16\pi}{12}$ o.s.v.

Då har du nått ett helt varv runt och du kan se att lösningarna ligger jämnt utspridda med ett inbördes avstånd på $\frac{2\pi}{12}=\frac{\pi}{6}$ .

Bilden illustrerar inte lösningarna utan istället hur du kan börja med att dela in enhetscirkeln i 24 tårtbitar:

Yngve skrev:
Sara Ha skrev:
...
Mitt problem är jag vet inte vilket sätt måste jag jobba med!
Enklaste metoden:
Rita en enhetscirkel.
Dela in den i 24 lika stora tårtbitar. Varje tårtbit motsvarar då $\frac{\pi}{12}$ radianer. Det enklaste sättet att göra detta är att dela in varje kvadrant i 3 lika stora delar och sedan dela in varje del i 2 lika stora delar. 4*3*2 = 24.
Markera dina 4 "huvudlösningar" i enhetscirkeln, dvs $\frac{\pi}{12}, \frac{3\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}, \frac{7\pi}{12}$ .
Markera de fyra första "extralösningarna" i enhetscirkeln, dvs de där n = 1, dvs $\frac{\pi}{12}+\frac{8\pi}{12}$ o.s.v.
Markera de fyra nästa "extralösningarna" i enhetscirkeln, dvs de där n = 2, dvs $\frac{\pi}{12}+\frac{16\pi}{12}$ o.s.v.
Då har du nått ett helt varv runt och du kan se att lösningarna ligger jämnt utspridda med ett inbördes avstånd på $\frac{2\pi}{12}=\frac{\pi}{6}$ .
Bilden illustrerar inte lösningarna utan istället hur du kan börja med att dela in enhetscirkeln i 24 tårtbitar:

betyder det att mitt sätt är fel?

Sara Ha skrev:
Yngve skrev:
Sara Ha skrev:
...
Mitt problem är jag vet inte vilket sätt måste jag jobba med!
Enklaste metoden:
Rita en enhetscirkel.
Dela in den i 24 lika stora tårtbitar. Varje tårtbit motsvarar då $\frac{\pi}{12}$ radianer. Det enklaste sättet att göra detta är att dela in varje kvadrant i 3 lika stora delar och sedan dela in varje del i 2 lika stora delar. 4*3*2 = 24.
Markera dina 4 "huvudlösningar" i enhetscirkeln, dvs $\frac{\pi}{12}, \frac{3\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}, \frac{7\pi}{12}$ .
Markera de fyra första "extralösningarna" i enhetscirkeln, dvs de där n = 1, dvs $\frac{\pi}{12}+\frac{8\pi}{12}$ o.s.v.
Markera de fyra nästa "extralösningarna" i enhetscirkeln, dvs de där n = 2, dvs $\frac{\pi}{12}+\frac{16\pi}{12}$ o.s.v.
Då har du nått ett helt varv runt och du kan se att lösningarna ligger jämnt utspridda med ett inbördes avstånd på $\frac{2\pi}{12}=\frac{\pi}{6}$ .
Bilden illustrerar inte lösningarna utan istället hur du kan börja med att dela in enhetscirkeln i 24 tårtbitar:
betyder det att mitt sätt är fel?

I facit står att x=π/12+ πn/6
alltså det behövs inte att räkna ut n!!

jag har ritat den

Yngve skrev:
Sara Ha skrev:
...
Mitt problem är jag vet inte vilket sätt måste jag jobba med!
Enklaste metoden:
Rita en enhetscirkel.
Dela in den i 24 lika stora tårtbitar. Varje tårtbit motsvarar då $\frac{\pi}{12}$ radianer. Det enklaste sättet att göra detta är att dela in varje kvadrant i 3 lika stora delar och sedan dela in varje del i 2 lika stora delar. 4*3*2 = 24.
Markera dina 4 "huvudlösningar" i enhetscirkeln, dvs $\frac{\pi}{12}, \frac{3\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}, \frac{7\pi}{12}$ .
Markera de fyra första "extralösningarna" i enhetscirkeln, dvs de där n = 1, dvs $\frac{\pi}{12}+\frac{8\pi}{12}$ o.s.v.
Markera de fyra nästa "extralösningarna" i enhetscirkeln, dvs de där n = 2, dvs $\frac{\pi}{12}+\frac{16\pi}{12}$ o.s.v.
Då har du nått ett helt varv runt och du kan se att lösningarna ligger jämnt utspridda med ett inbördes avstånd på $\frac{2\pi}{12}=\frac{\pi}{6}$ .
Bilden illustrerar inte lösningarna utan istället hur du kan börja med att dela in enhetscirkeln i 24 tårtbitar:

Det ger att det finns π/12 mellan en varje lösning av de fyra lösningar!
men hur kommer vi att räkna ut 2πn/3 för att bli πn/6 Sara Ha skrev:
jag har ritat den
Yngve skrev:
Sara Ha skrev:
...
Mitt problem är jag vet inte vilket sätt måste jag jobba med!
Enklaste metoden:
Rita en enhetscirkel.
Dela in den i 24 lika stora tårtbitar. Varje tårtbit motsvarar då $\frac{\pi}{12}$ radianer. Det enklaste sättet att göra detta är att dela in varje kvadrant i 3 lika stora delar och sedan dela in varje del i 2 lika stora delar. 4*3*2 = 24.
Markera dina 4 "huvudlösningar" i enhetscirkeln, dvs $\frac{\pi}{12}, \frac{3\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}, \frac{7\pi}{12}$ .
Markera de fyra första "extralösningarna" i enhetscirkeln, dvs de där n = 1, dvs $\frac{\pi}{12}+\frac{8\pi}{12}$ o.s.v.
Markera de fyra nästa "extralösningarna" i enhetscirkeln, dvs de där n = 2, dvs $\frac{\pi}{12}+\frac{16\pi}{12}$ o.s.v.
Då har du nått ett helt varv runt och du kan se att lösningarna ligger jämnt utspridda med ett inbördes avstånd på $\frac{2\pi}{12}=\frac{\pi}{6}$ .
Bilden illustrerar inte lösningarna utan istället hur du kan börja med att dela in enhetscirkeln i 24 tårtbitar:

Vänta minst 24 timmar innan du bumpar en tråd.
I detta fall kunde du lätt bara redigerat ditt senaste inlägg.

/joculator - moderator

joculator skrev:
Vänta minst 24 timmar innan du bumpar en tråd.
I detta fall kunde du lätt bara redigerat ditt senaste inlägg.
/joculator - moderator

Jag förstår inte

Har du läst igenom reglerna för Pluggakuten?

Där står bland annat:

1.8
Det är inte tillåtet att bumpa en tråd inom ett dygn efter att tråden postats eller sedan det senaste obesvarade inlägget.
Bumpa betyder att en tråd flyttas upp i forumet genom att skriva inlägg i tråden som är tomma eller saknar mening i sammanhanget.

joculator skrev:
Vänta minst 24 timmar innan du bumpar en tråd.
I detta fall kunde du lätt bara redigerat ditt senaste inlägg.
/joculator - moderator

Det finns ett teknisk problem, det är därför att jag kunde inte skriva på de svar som jag har citerat!

Sara Ha skrev:

betyder det att mitt sätt är fel?

Ärligt talat så förstår jag inte dina lösningar, så jag kan inte säga om de är fel eller inte.

Jag föreslår två olika vägar för att få fram lösningen på en sammanställd form:

1. Använd enhetscirkeln. Här har du börjat bra, men jag ser inte att du har markerat i enhetscirkeln vilka lösningarna faktiskt är. Du behöver markera dem för n = 0, n = 1 och n = 2. Försök sedan att sammanfatta, åtminstone i ord, hur lösningarna är fördelade.

2. Skriv upp lösningarna i en lång lista i storleksordning. Börja med "grundlösningarna", dvs de fyra lösningarna där n = 0, fyll sedan på med de fyra lösningarna då n = 1 och slutligen de fyra lösningarna där n = 2. Försök sedan att sammanfatta, åtminstone i ord, hur lösningarna är fördelade.

Här är de första fyra, där n = 0:

$\frac{\pi}{12}$

$\frac{3\pi}{12}$

$\frac{5\pi}{12}$

$\frac{7\pi}{12}$

Här är nästa fyra, där n = 1.

$\frac{\pi}{12}+\frac{8\pi}{12}=\frac{9\pi}{12}$

$\frac{3\pi}{12}+\frac{8\pi}{12}=\frac{11\pi}{12}$

$\frac{5\pi}{12}+\frac{8\pi}{12}=\frac{13\pi}{12}$

$\frac{7\pi}{12}+\frac{8\pi}{12}=\frac{15\pi}{12}$

Kan du skriva upp de sista fyra själv, dvs de där n = 2?

Yngve skrev:
Sara Ha skrev:
betyder det att mitt sätt är fel?
Ärligt talat så förstår jag inte dina lösningar, så jag kan inte säga om de är fel eller inte.
Jag föreslår två olika vägar för att få fram lösningen på en sammanställd form:
1. Använd enhetscirkeln. Här har du börjat bra, men jag ser inte att du har markerat i enhetscirkeln vilka lösningarna faktiskt är. Du behöver markera dem för n = 0, n = 1 och n = 2. Försök sedan att sammanfatta, åtminstone i ord, hur lösningarna är fördelade.
2. Skriv upp lösningarna i en lång lista i storleksordning. Börja med "grundlösningarna", dvs de fyra lösningarna där n = 0, fyll sedan på med de fyra lösningarna då n = 1 och slutligen de fyra lösningarna där n = 2. Försök sedan att sammanfatta, åtminstone i ord, hur lösningarna är fördelade.
Här är de första fyra, där n = 0:
$\frac{\pi}{12}$
$\frac{3\pi}{12}$
$\frac{5\pi}{12}$
$\frac{7\pi}{12}$
Här är nästa fyra, där n = 1.
$\frac{\pi}{12}+\frac{8\pi}{12}=\frac{9\pi}{12}$
$\frac{3\pi}{12}+\frac{8\pi}{12}=\frac{11\pi}{12}$
$\frac{5\pi}{12}+\frac{8\pi}{12}=\frac{13\pi}{12}$
$\frac{7\pi}{12}+\frac{8\pi}{12}=\frac{15\pi}{12}$
Kan du skriva upp de sista fyra själv, dvs de där n = 2?

Jag försökte att skriva n=2 i π/12+2π*2/3= 17π/12
3π/12 + 2π*2/3= 19π/12
5π/12+ 2π*2/3= 7π/4
7π/12 + 2π*2/3 = 23π/12

Sara Ha skrev:

Jag försökte att skriva n=2 i π/12+2π*2/3= 17π/12
3π/12 + 2π*2/3= 19π/12
5π/12+ 2π*2/3= 7π/4
7π/12 + 2π*2/3 = 23π/12

Bra, det stämmer.

Om du nu skriver $\frac{7\pi}{4}$ som $\frac{21\pi}{12}$ så ser du mönstret.