Lösa ekvation med komplexa tal.

Fel i facit enligt WolframAlpha

(fast du har gjort ett ltet fel också)

Ekvationen $z^2+(2+i)z+5=0$

behandlas med kvadratkomplettering:

$(z+\dfrac{2+i}{2})^2=-5+(\dfrac{2+i}{2})^2$, vilket överförs till standardformen

$w^2=-\dfrac{17}{4}+i$, där $w=z+\dfrac{2+i}{2}$.

Ansätt $w=a+ib$, varav $w^2=a^2-b^2+i\cdot 2ab$.

Kan du fortsätta på egen hand?

Välkommen till Pluggakuten!

${(1+\frac{i}{2})}^2=...$

Du missade väl för att du inte ville slösa på blyet i pennan :-)… som jag brukar säga

Jag hittade en tidigare post (8 jun 2018) från Pluggakuten som löser nästan samma ekvation och förklarar det mesta. Jag googlade komplex andragradsekvation och hamnade där. Man löser en cartesisk ekvation w^2=x+iy. Förklaras bra där.

Tusen tack för all hjälp 🙏🏻 Nu blev det äntligen rätt, och till och med miniräknare håller med om detta 😉

Nja jag är inte riktigt tillfreds med ditt svar. Hade jag varit examinator, hade du fått kraftigt poängavdrag för denna "lösning".

Vi ska  inte lösa ekvationen med pq. Gör man det, landar man i uttryck av typen $\sqrt{\dfrac{-17+4i}{2}}$. Hur ska vi tolka denna kvadratrot?

Nej, du måste använda den metod jag beskrev i mitt tidigare svar.

Nu hade jag ett teckenfel så det borde ha stått $z^2-(2+i)z+5=0$.

Med ansatsen i mitt svar, ska vi identifiera real- och imaginärdelar. Vi får ett ekvationssystem:

$a^2-b^2=-\dfrac{17}{4}$  (Re-del)

$2ab=1$ (Im-del)

Det blir en hel del allvarligt räknetekniska problem, men lyckas vi hålla reda på alla tecken och kvadratrötter,

landar vi slutligen i ($w=z-\dfrac{2+i}{2}$):

$b=\pm \sqrt{\dfrac{17+\sqrt{305}}{8}}$ respektive $a=\pm\sqrt{\dfrac{\sqrt{305}-17}{8}}$, varav

$z=1+\dfrac{i}{2}\pm(\sqrt{\dfrac{\sqrt{305}-17}{8}}+i \sqrt{\dfrac{17+\sqrt{305}}{8}})$.

Jag tycker att du, som bra träning, ska lösa enklare komplexa andragradare på samma sätt som jag beskrivit. Se rapidos inlägg.

Okej :) 

Ja min första tanke när jag skulle lösa uppgiften var att försöka få den till en ekvation likt z^2=a+bi

Och sedan lösa den med ett sådant ekvationssystem som du nämner. Men jag lyckades inte riktigt nå den formen, så när jag frågade min lärare var det han som sa att jag skulle lösa den med PQ-formeln.

Men ja ska försöka mig på att lösa den med dina anvisningar oxå, för alla andra såna här problem har vi löst på det sättet :) 

ok bra. Ett direkt olämpligt svar av din lärare, tycker jag.

Komplexa ekvationer ska ha lösningar på formen $z=a+ib,\, a,b\in\mathbb{R}$.

Så, nu stämmer svaret även med svaret i facit 😉 Det ända jag inte riktigt förstår är varför jag får ett i , i w^2= -17/4 +i 

Det stämmer, när du utvecklar $(\dfrac{2+i}{2})^2$ får du detta "i",  (4i/4).

Bra kämpat!!

Ja kvadreringregeln såklart, missade den biten :) 

Tack för all din hjälp, nu slipper jag ligga sömnlös över denna uppgift och har lite bättre koll hur jag ska gå tillväga vid liknande uppgifter :) 

Varsågod, all lycka med dina fortsatta studier!