Lösa ekvation med e

Lisa Mårtensson skrev:

Jag skulle behöva hjälp med att förstå hur jag löser följande ekvation:

$e^{2x}=10·e^x$.

Svaret ska vara ln 10, men även när jag vet det så förstår jag inte hur det hänger ihop.

Jag sätter in ln 10 i stället för x och får då

$e^{2 \ln 10}=10·e^{\ln 10}$.

Skulle någon kunna förklara?

Hej.  Det finns olika metoder: 

$e^{2x}=10e^x\Rightarrow e^{2x}=e^{\ln 10}{e}^x\Rightarrow e^{2x}=e^{\ln 10+x}\Rightarrow x=\ln 10$

$e^{2x}=10e^x\Rightarrow \frac{e^{2x}}{e^x}=10\Rightarrow e^x=10\Rightarrow x·\ln \left(e\right)=\ln 10\Rightarrow x=\ln 10$

Om du sätter in ln10 i x blir det: $e^{2·\ln 10}=10e^{\ln 10}\Rightarrow e^{2·\ln 10}=e^{\ln 10}{e}^{\ln 10}\Rightarrow e^{2·\ln 10}=e^{\ln 10+\ln 10}$

Och du kan se att likheten stämmer för x=ln10.

Tack Korra!

Nu blev det glasklart. Jag använder att $e^{\ln 10}=10$ och då blir ju $10e^x$ detsamma som  $e^{\ln 10}{e}^x$.

Jag förstod allt, men det är svårt att se själv när man inte övat tillräckligt.

Lisa Mårtensson skrev:

Tack Korra!

Nu blev det glasklart. Jag använder att $e^{\ln 10}=10$ och då blir ju $10e^x$ detsamma som  $e^{\ln 10}{e}^x$.

Jag förstod allt, men det är svårt att se själv när man inte övat tillräckligt.

Varsågod. Man kan ha i bakhuvudet att man bör testa olika ekvivalenta omskrivningar som $10\iff e^{\ln 10}$när man har kört fast.

Hej!

Du kan också se det som en andragradsekvation i $e^x$ såhär:

    $(e^x)^2 - 10e^{x} = 0 \iff e^{x} \cdot(e^{x}-10) = 0.$

Det gäller att $e^x > 0$ alltid, vilket betyder att ekvationen är samma sak som

    $e^{x}-10 = 0.$