Lösa ekvation för z i C

Du kan lösa den med de vanliga metoderna, PQ-formeln eller kvadratkomplettering.

Eller så kan du anta en lösning $z=a+bi$ och sätta in vilket leder till ett ekvationssystem i $a$ och $b$.

Precis som i Ma2 fast krångligare: PQ-forneln eller kvadratkompletteing.

Tack, jag sätter igång!

En god regel kan vara att först prova med något enkelt svar.

Om jag använder pq-formeln så är 7+3i =p och 10+10i =q, eller hur?

EDIT Det ska vara p= -(7+3i)

$z=\frac{7+3i}{2}\pm \sqrt{(\frac{7+3i}{2}{)}^2-(10+10i)}$

Lisa Mårtensson skrev:

Om jag använder pq-formeln så är 7+3i =p och 10+10i =q, eller hur?

$z=\frac{7+3i}{2}\pm \sqrt{(\frac{7+3i}{2}{)}^2-(10+10i)}$

Ja din användning av pq-formeln stämmer.

(Fast du råkade skriva att p = 7+3i när du egentligen menade p = -(7+3i).)

$$\begin{gathered} z=3,5+1,5i\pm \sqrt{(\frac{49-9+42i}{4}-10-10i }= \\ =3,5+1,5i\pm \sqrt{10+10,5i-10-10i}= \\ =3,5+1,5i\pm \sqrt{0,5i} \end{gathered}$$

Misstänker att jag gjort fel någonstans...

Jag ser inget fel, men du är inte klar än. 

Vet du hur du löser roten ur 0,5i?

Lisa Mårtensson skrev:

...

EDIT Det ska vara p= -7+3i

...

Nu är jag petig, men nej, inte det heller. Du glömde parenteserna.

Det är bra att ni är petiga, det blir lätt fel i slutändan annars.

Nej, $\sqrt{0,5i}$ det är jag inte så säker på att jag kan.

Jag tycket att $\sqrt{0,5i}$ är lättast att beräkna med hjälp av de Moivres formel. Har du lärt dig den?

Ja, jag känner till de Moivres formel men är inte så hemma på att använda den i olika sammanhang märker jag.

Bör jag göra om $\sqrt{0,5i}$ till polär form för att använda de Moivres formel här?

Absolutbeloppet är $\sqrt{0,5}$ och argumentet (vinkeln) är $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ så då kan jag skriva $\sqrt{0,5i}$ på polär form som $\sqrt{0,5}·(\cos \frac{\mathrm{\pi }}{2}+i \sin \frac{\mathrm{\pi }}{2})$.

Eftersom jag råkat få veta de båda lösningarna för z i $\mathrm{ℂ}$ till denna uppgift, och att de är

4+2i och 3+i

så förstår jag att $\sqrt{0,5i}$ måste vara lika med 0,5+0,5i.

Det skulle vara väldigt intressant att få veta hur jag använder de Moivres formel för att räkan ut detta!

Jag har provat genom att sätta n=2 i formeln (när jag har roten ur 0,5i på polär form) och får då 0,5*(cos pi + i sin pi) = 0,5*((-1)+(0)i) =-0,5

Men nu är jag kanske ute och cyklar? 

Eftersom argumentet för $0,5i=\frac{\pi}{2}$ så är argumentet för $\sqrt{0,5i}$ hälften så stort. Beloppet för 0,5i\sqrt{0,5i} är roten ur beloppet för $0,5i$.

Jag har provat genom att sätta n=2 i formeln (när jag har roten ur 0,5i på polär form) och får då 0,5*(cos pi + i sin pi) = 0,5*((-1)+(0)i) =-0,5

Men nu är jag kanske ute och cyklar? 

Vad är det för värde på "roten ur 0,5i på polär form"?

Roten ur 0,5i skrivs kanske då på polär form $\sqrt{0,5}(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\mathrm{\pi }}{4})$?

$\cos \frac{\mathrm{\pi }}{4} är 0 och \sin \frac{\mathrm{\pi }}{4}är 1.$ EDIT: Det hör var helt fel skrivet.

(Det här var klurigt för mig.)

Lisa Mårtensson skrev:

...

$\cos \frac{\mathrm{\pi }}{4} är 0 och \sin \frac{\mathrm{\pi }}{4}är 1.$

Nej, $\cos\frac{\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt2}$.

Ja, det står så i boken också! :-)

Ursäkta.

Hej!

Det finns flera komplexa tal som motsvarar "kvadratroten" $\sqrt{i0,5}$. Jag föreslår att du använder en annan metod än den som diskuteras i denna tråd för att finna de komplexa tal ($z$) som löser din andragradsekvation. Metoden bygger på att du först kvadratkompletterar andradgradsekvationen så att den blir på formen $(z-a)^2 -b = 0$ där $a$ och $b$ är komplexa tal.

• Därefter inför du beteckningen $w = z-a$ och skriver $w$ och $b$ på polär form som $w = re^{iv}$ och $b = Re^{i\theta + i2\pi n}$ där $n$ betecknar ett godtyckligt heltal.
• Detta ger ekvationen $r^2e^{i2v} = Re^{i\theta+i2\pi n} \implies r=\sqrt{R} \text{ och } v = 0.5\theta + \pi n$.