Lösa ekvation

Använd additionssatserna och formeln för dubbla vinkeln för att få fram ett uttryck som är enklare att hantera. Visa vad du har kommit fram till när du har kommit så långt, så kan vi hjälpa dig vidare.

Smaragdalena skrev:

Använd additionssatserna och formeln för dubbla vinkeln för att få fram ett uttryck som är enklare att hantera. Visa vad du har kommit fram till när du har kommit så långt, så kan vi hjälpa dig vidare.

Detta är kapitlet innan additionssatserna och dubbla vinkeln så jag tror inte man ska använda sig ut av de

Om vi för tillfället struntar i vad som står i parenteserna (det är bara uttryck som beskriver varsin vinkel), kan vi säga att ekvationen är av typen

$\sin(a) = \cos(b)$

Du sa själv att $\sin(x) = \cos(90^\circ - x)$, så vi kan få leden lite mer lika:

$\cos(90^\circ - a) = \cos(b)$

Nu så: Ekvationen säger att vinklarna $90^\circ - a$ och $b$ har samma cosinusvärde. Vad kan vi säga om såna vinklar? Det finns två olika sätt som det kan ske på.

Du kan försöka fortsätta på ditt eget lösningsförslag, att utnyttja förhållandet sin(x)=cos(90-x). Men för att göra det så måste du transformera variabeln x så att ursprungsekvationen får formatet som du vill utnyttja. 

Tex ansätt y=80-x, då blir ursprungsekvationen sin(200-2y)=cos(90-y). Och du kan då komma vidare.

Skaft skrev:

Om vi för tillfället struntar i vad som står i parenteserna (det är bara uttryck som beskriver varsin vinkel), kan vi säga att ekvationen är av typen

$\sin(a) = \cos(b)$

Du sa själv att $\sin(x) = \cos(90^\circ - x)$, så vi kan få leden lite mer lika:

$\cos(90^\circ - a) = \cos(b)$

Nu så: Ekvationen säger att vinklarna $90^\circ - a$ och $b$ har samma cosinusvärde. Vad kan vi säga om såna vinklar? Det finns två olika sätt som det kan ske på.

Jag vet att cos v=cos (-v) för vinklar i första och fjärde kvadranten. En annan grej jag kom att tänka på var att man kanske kunde multiplicera både leden med något för att få cos(90^o-x), problemet blir att om jag multiplicerar både leden med -9 till exempel så blir HL cos(-90^o-x) vilket blir tokigt.

Cien skrev:

Jag vet att cos v=cos (-v) för vinklar i första och fjärde kvadranten.

Det gäller för alla vinklar, inte bara de i första och fjärde kvadranten. Så t.ex. har 150 och -150 samma cosinusvärde.

Är du då med på att om två vinklar har samma cosinusvärde, så måste de antingen:

• Vara samma (eller någon helvarvsförskjutning ifrån att vara samma)
• Vara den andra vinkelns negation (eller någon helvarvsförskjutning ifrån den)?

Dvs, om cos(x) = cos(y), så måste x peka i samma riktning som antingen y eller -y.

Skaft skrev:

Cien skrev:

Jag vet att cos v=cos (-v) för vinklar i första och fjärde kvadranten.

Det gäller för alla vinklar, inte bara de i första och fjärde kvadranten. Så t.ex. har 150 och -150 samma cosinusvärde.

Är du då med på att om två vinklar har samma cosinusvärde, så måste de antingen:

• Vara samma (eller någon helvarvsförskjutning ifrån att vara samma)
• Vara den andra vinkelns negation (eller någon helvarvsförskjutning ifrån den)?

Dvs, om cos(x) = cos(y), så måste x peka i samma riktning som antingen y eller -y.

det är jag med på

Toppen! Då är det bara att omvandla det där till "matematiska". Om då $\cos(90-a) = \cos(b)$, så är ena fallet att vinklarna är samma (plus eventuell helvarvsförskjutning):

$90-a = b + n\cdot 360$

Och vad blir andra fallet?

Skaft skrev:

Toppen! Då är det bara att omvandla det där till "matematiska". Om då $\cos(90-a) = \cos(b)$, så är ena fallet att vinklarna är samma (plus eventuell helvarvsförskjutning):

$90-a = b + n\cdot 360$

Och vad blir andra fallet?

90-a=-b+n*360 ?

Jupp! Och nu är det väl dags att byta bort a och b. Det är ju bara ersättare för de uttryck som fanns i din ekvation.

Skaft skrev:

Jupp! Och nu är det väl dags att byta bort a och b. Det är ju bara ersättare för de uttryck som fanns i din ekvation.

tack ska du ha

Det var en intressant ekvation och både lösningen och svaret lite överraskande.
Tack för ditt förslag Skaft!

Själv började jag som Smaragdalena föreslog, men ekvationen blev längre och längre för mig.
Jag har tittat om jag kan komma på någonting som gör den vägen framkomlig, men kommer inte på något.

Min väg så här långt:

V.L. = sin(2x+40^o) = sin2x cos 40^o + cos 2x sin 40^o      /sin2x = 2 sinx cosx   och   /cos2x = cos²x - sin² x 

men jag får ingen nytta av dessa försök?

H.L. = cos(x+10^o) = cosx cos10^o - sinx sin10^o 

inte heller det här ger mycket?

Är det någon som kan ha ett tips?

ConnyN. jag tycker att mitt lösningsförslag borde vara väldigt rättfram

1. Transformera variabeln x, så att ena ledet kan uttryckas med samma trigonometriska funktion som andra ledet. (sambandet sin v= cos(90-v))

2. Sätt de trigonometriska argumenten lika med varandra (inklusive periodicitet)

3. Transformera tillbaka till variabeln x, och lös ekvationen

Har inte testat dock, kanske jag tänker fel

Jag håller med Johan F, det borde bli:

$90^{\circ}-(2x+40^{\circ})=\pm (x+10^{\circ})+n\cdot 360^{\circ}$

...

JohanF skrev:

ConnyN. jag tycker att mitt lösningsförslag borde vara väldigt rättfram

1. Transformera variabeln x, så att ena ledet kan uttryckas med samma trigonometriska funktion som andra ledet. (sambandet sin v= cos(90-v))

2. Sätt de trigonometriska argumenten lika med varandra (inklusive periodicitet)

3. Transformera tillbaka till variabeln x, och lös ekvationen

Har inte testat dock, kanske jag tänker fel

Jodå den är helt rätt. Borde så klart ha kollat den också, men den leder till samma sak som Skafts lösning fast snabbare.

Så precis som du och Tomas konstaterar, är det den enklaste lösningen.

Det jag undrade var väl egentligen om Smaragdalena hade sett något som jag inte sett?

Jag tycker nog att JohanFs metod är precis den jag gick igenom med TS? Minus variabelbytet då, men det var mest för att lättare prata om en sak i taget. Själva resonemanget är ju samma.

Om det går lösa uppgiften genom att utveckla allt vet jag inte, men jag lyckas inte heller den vägen. Det blir iallafall svårare :)

Skaft skrev:

Jag tycker nog att JohanFs metod är precis den jag gick igenom med TS? Minus variabelbytet då, men det var mest för att lättare prata om en sak i taget. Själva resonemanget är ju samma.

Om det går lösa uppgiften genom att utveckla allt vet jag inte, men jag lyckas inte heller den vägen. Det blir iallafall svårare :)

Jo det håller jag med om plus att din var mycket pedagogisk. Därför gillade jag den, men Johans och Tomas metod är mer en snabbvariant för den som redan kan det. Med det sagt så menar jag inte att jag inte gillar deras metod. Den är absolut ett bra komplement i tråden.