Lösa differentialen

lösa differentialekvationen N’(t)=9.10^-6 *N(7000-N) om N(0)=600.

Hej, kan ni vara snälla och hjälpa mig för den här frågan. Om jag ska multiplicera N blir en andragradsekvation . Alltså har jag ingen aning🙁.

Tack på förhand!

Har ni lärt er lösa separabla differentialekvationer?

Annars så har ni nog lärt er lösningen till den där utantill, det är alltså den logistiska modellen.

Stokastisk skrev :
Har ni lärt er lösa separabla differentialekvationer?
Annars så har ni nog lärt er lösningen till den där utantill, det är alltså den logistiska modellen.

Det står ingenstans hur kan man lösa ekvationen. Det enda står med digital verktyg. Men jag vill lösa det själv🙁

Okej, men sättet man löser ekvationen

$N' = kN(A - N)$

på, där k och A är några konstanter är att skriva om den som

$\frac{dN}{N(A - N)} = kdt$

Integrerar man nu så får man

$\int \frac{d N}{N (A - N)} = \frac{1}{A} \int (\frac{1}{A - N} + \frac{1}{N}) d N = \frac{1}{A} (- \ln (A - N) + \ln (N)) + C$

Så man får att

$\frac{1}{A} (- \ln (A - N) + \ln (N)) = k t + C$

Nu kan man lösa denna ekvation (notera att jag slarvar lite med konstanten C här, multiplicerar man den med A så är det fortfarande en godtycklig konstant, så så länge den är en godtycklig konstant kallar jag den för C)

$\ln (\frac{N}{A - N}) = A k t + C$

$\frac{N}{A - N} = C e^{A k t}$

$\frac{A}{N} - 1 = C e^{- A k t}$

$N = \frac{A}{1 + C e^{- A k t}}$

Och åter igen, jag ber lite om ursäkt för att jag slarvar lite med konstanter och bara kallar dom för C även om det inte riktigt är samma konstant hela tiden. Samt att jag kanske redovisar lite för få steg, men du kan ju kolla om du är med på början av lösningen iaf för där är själva idén i hur man löser en sådan här ekvation.

Stokastisk skrev :
Okej, men sättet man löser ekvationen
$N' = kN(A - N)$
på, där k och A är några konstanter är att skriva om den som
$\frac{dN}{N(A - N)} = kdt$
Integrerar man nu så får man
$\int \frac{d N}{N (A - N)} = \frac{1}{A} \int (\frac{1}{A - N} + \frac{1}{N}) d N = \frac{1}{A} (- \ln (A - N) + \ln (N)) + C$
Så man får att
$\frac{1}{A} (- \ln (A - N) + \ln (N)) = k t + C$
Nu kan man lösa denna ekvation (notera att jag slarvar lite med konstanten C här, multiplicerar man den med A så är det fortfarande en godtycklig konstant, så så länge den är en godtycklig konstant kallar jag den för C)
$\ln (\frac{N}{A - N}) = A k t + C$
$\frac{N}{A - N} = C e^{A k t}$
$\frac{A}{N} - 1 = C e^{- A k t}$
$N = \frac{A}{1 + C e^{- A k t}}$
Och åter igen, jag ber lite om ursäkt för att jag slarvar lite med konstanter och bara kallar dom för C även om det inte riktigt är samma konstant hela tiden. Samt att jag kanske redovisar lite för få steg, men du kan ju kolla om du är med på början av lösningen iaf för där är själva idén i hur man löser en sådan här ekvation.

Tackar så mycket! Det var snällt.

Svara

Visa senaste svar