Lösa diff.ekv med integrerande faktor

Hej, 

jag ska lösa denna diff.ekv $u\text{'}+\frac{1}{x-1}u=0$ med bivillkor u(1)=1. Såhär gjorde jag:

$$\begin{gathered} g\left(x\right)=\frac{1}{x-1} , G\left(x\right)=\ln (x-1) , IF: e^{\ln (x-1)}=x-1 \\ (x-1)u\text{'}+u=0 \\ \frac{d}{dx}\left(u*(x-1\right))=0 \\ u(x-1)=C \\ u(x)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\frac{1}{x-1}C \end{gathered}$$

Men när jag sen sätter in u(1)=1 får jag ju "1/0" - vilket inte är definierat. I ledningen står det att jag ska använda integrerande faktor, men det är väl det jag gjort?