Lösa abs(2x+1/(2x-1)=<0. Förstår inte början av resonemanget

våfflormedgrädde skrev:

.Jag hänger med att $-1\le \left|\frac{(2x+1)}{(2x-1)}\right|\le 1$,

Du menar väl $-1\leq\frac{2x+1}{2x-1}\leq1$?

dock så ska man också anta att (2x+1/2x-1x)$\ge 0$ och -(2x+1/(2x-1)$<0$. Varför?

Jag vet inte hur lösningen fortsätter i facit, men jag kan tänka mig att de multiplicerar olikheten med nämnaren 2x-1.

Då gäller att vi måste byta riktning på olikhetstecknet om denna nämnare är mindre än 0.

Därför är det vettigt att dela upp lösningen i de två fallen 2x-1 < 0 och 2x-1 > 0.

Yngve skrev:

våfflormedgrädde skrev:

.Jag hänger med att $-1\le \left|\frac{(2x+1)}{(2x-1)}\right|\le 1$,

Du menar väl $-1\leq\frac{2x+1}{2x-1}\leq1$?

dock så ska man också anta att (2x+1/2x-1x)$\ge 0$ och -(2x+1/(2x-1)$<0$. Varför?

Jag vet inte hur lösningen fortsätter i facit, men jag kan tänka mig att de multiplicerar olikheten med nämnaren 2x-1.

Då gäller att vi måste byta riktning på olikhetstecknet om denna nämnare är mindre än 0.

Därför är det vettigt att dela upp lösningen i de två fallen 2x-1 < 0 och 2x-1 > 0.

precis. Jag skrev fel, det ska vara utan abs beloppet.

Jag förstår fortfarande inte och hade velat att någon går igenom uppgiften steg för steg, i allafall den första biten där man visar hur man resonerar när man "sätter upp allt"

Uppgiften går att lösa på flera olika sätt.

Alternativ 1: Vill du ha hjälp att förstå just den lösning som finns i din bok/facit?

I så fall måste du visa den så att vi slipper gissa vilken lösningsmetod de har valt.

Alternativ 2: Vill du bara få någon metod vilken som helst förklarad så kan vi hjälpa dig med det istället.

Vilket alternativ väljer du?

Yngve skrev:

Uppgiften går att lösa på flera olika sätt.

Alternativ 1: Vill du ha hjälp att förstå just den lösning som finns i din bok/facit?

I så fall måste du visa den så att vi slipper gissa vilken lösningsmetod de har valt.

Alternativ 2: Vill du bara få någon metod vilken som helst förklarad så kan vi hjälpa dig med det istället.

Vilket alternativ väljer du?

Yngve skrev:

Uppgiften går att lösa på flera olika sätt.

Alternativ 1: Vill du ha hjälp att förstå just den lösning som finns i din bok/facit?

I så fall måste du visa den så att vi slipper gissa vilken lösningsmetod de har valt.

Alternativ 2: Vill du bara få någon metod vilken som helst förklarad så kan vi hjälpa dig med det istället.

Vilket alternativ väljer du?

Alternativ 1.

våfflormedgrädde skrev:

Alternativ 1.

OK vad synd, för jag förstår inte heller den lösningen.

Jag skulle göra på följande sätt:

Börja med att konstatera att de intressanta "brytpunkterna" för täljaren 2x+1 och nämnaren 2x-1 är x = 1/2 och x = 1/2.

Det är intressant att se hur olikheten ser ut till vänster om, mellan och till höger om dessa punkter (samt vad som händer vid dessa punkter). 

Vi delar därför upp olikheten i olika delar:  

Del A: Om x < -1/2 så är både täljaren och nämnaren negativa, vilket betyder att kvoten $\frac{2x+1}{2x-1}$ > $0$, vilket betyder att $|\frac{2x+1}{2x-1}|=\frac{2x+1}{2x-1}$ och då lyder olikheten $\frac{2x+1}{2x-1}\leq1$. Eftersom nämnaren $2x-1$ är negativ här så måste vi vända på olikhetstecknet när vi multiplicerar med nämnaren och vi får då $2x+1\geq 2x-1$, dvs $1\geq -1$, vilket alltid är sant, oavsett vilket värde x har. Det betyder att olikheten är uppfylld för alla x < -1/2.

Del B: Om x = -1/2 så täljaren lika med 0 och nämnaren negativ. Det betyder att $|\frac{2x+1}{2x-1}|=0$ och olikheten är därmed uppfylld. 

Del C: Om -1/2 < x < 1/2 så är täljaren positiv och nämnaren negativ, vilket betyder att kvoten $\frac{2x+1}{2x-1}$ < $0$, vilket betyder att $|\frac{2x+1}{2x-1}|=-\frac{2x+1}{2x-1}=\frac{2x+1}{1-2x}$ och då lyder olikheten $\frac{2x+1}{1-2x}\leq1$. Eftersom nämnaren $1-2x$ är positiv här så kan vi multiplicera med nämnaren utan att vända på olikhetstecknet och vi får då $2x+1\leq 1-2x$, dvs $4x\leq0$, dvs $x\leq0$, vilket är sant i en del av detta intervall. Vi har här att olikheten är uppfylld för alla -1/2 < x $\leq$ 0.

Del D: Om x = 1/2 så täljaren positiv och nämnaren lika med 0. Det betyder att kvoten är odefinierad och att olikheten därmed inte är giltig här. 

Del E: Om x > 1/2 så är både täljaren och nämnaren positiva, vilket betyder att kvoten $\frac{2x+1}{2x-1}$ > $0$, vilket betyder att $|\frac{2x+1}{2x-1}|=\frac{2x+1}{2x-1}$ och då lyder olikheten $\frac{2x+1}{2x-1}\leq1$. Eftersom nämnaren $2x-1$ är positiv här så kan vi multiplicera med nämnaren utan att vända på olikhetstecknet och vi får då $2x+1\leq 2x-1$, dvs $1\leq -1$, vilket aldrig är sant, oavsett vilket värde x har. Det betyder att olikheten inte är uppfylld för något x > 1/2.

Sammanfattningsvis så har vi sett att olikheten är uppfylld för alla $x\leq0$

Tillägg: När vi har med bråk att göra och vi undrar om kvoten är positiv eller negativ så passar det utmärkt att göra en teckentabell likt denna:

Yngve skrev:

våfflormedgrädde skrev:

Alternativ 1.

OK vad synd, för jag förstår inte heller den lösningen.

Jag skulle göra på följande sätt:

Börja med att konstatera att de intressanta "brytpunkterna" för täljaren 2x+1 och nämnaren 2x-1 är x = 1/2 och x = 1/2.

Det är intressant att se hur olikheten ser ut till vänster om, mellan och till höger om dessa punkter (samt vad som händer vid dessa punkter). 

Vi delar därför upp olikheten i olika delar:  

Del A: Om x < -1/2 så är både täljaren och nämnaren negativa, vilket betyder att kvoten $\frac{2x+1}{2x-1}$ > $0$, vilket betyder att $|\frac{2x+1}{2x-1}|=\frac{2x+1}{2x-1}$ och då lyder olikheten $\frac{2x+1}{2x-1}\leq1$. Eftersom nämnaren $2x-1$ är negativ här så måste vi vända på olikhetstecknet när vi multiplicerar med nämnaren och vi får då $2x+1\geq 2x-1$, dvs $1\geq -1$, vilket alltid är sant, oavsett vilket värde x har. Det betyder att olikheten är uppfylld för alla x < -1/2.

Del B: Om x = -1/2 så täljaren lika med 0 och nämnaren negativ. Det betyder att $|\frac{2x+1}{2x-1}|=0$ och olikheten är därmed uppfylld. 

Del C: Om -1/2 < x < 1/2 så är täljaren positiv och nämnaren negativ, vilket betyder att kvoten $\frac{2x+1}{2x-1}$ < $0$, vilket betyder att $|\frac{2x+1}{2x-1}|=-\frac{2x+1}{2x-1}=\frac{2x+1}{1-2x}$ och då lyder olikheten $\frac{2x+1}{1-2x}\leq1$. Eftersom nämnaren $1-2x$ är positiv här så kan vi multiplicera med nämnaren utan att vända på olikhetstecknet och vi får då $2x+1\leq 1-2x$, dvs $4x\leq0$, dvs $x\leq0$, vilket är sant i en del av detta intervall. Vi har här att olikheten är uppfylld för alla -1/2 < x $\leq$ 0.

Del D: Om x = 1/2 så täljaren positiv och nämnaren lika med 0. Det betyder att kvoten är odefinierad och att olikheten därmed inte är giltig här. 

Del E: Om x > 1/2 så är både täljaren och nämnaren positiva, vilket betyder att kvoten $\frac{2x+1}{2x-1}$ > $0$, vilket betyder att $|\frac{2x+1}{2x-1}|=\frac{2x+1}{2x-1}$ och då lyder olikheten $\frac{2x+1}{2x-1}\leq1$. Eftersom nämnaren $2x-1$ är positiv här så kan vi multiplicera med nämnaren utan att vända på olikhetstecknet och vi får då $2x+1\leq 2x-1$, dvs $1\leq -1$, vilket aldrig är sant, oavsett vilket värde x har. Det betyder att olikheten inte är uppfylld för något x > 1/2.

---

Sammanfattningsvis så har vi sett att olikheten är uppfylld för alla $x\leq0$

---

Tillägg: När vi har med bråk att göra och vi undrar om kvoten är positiv eller negativ så passar det utmärkt att göra en teckentabell likt denna:

TACK!!!!