Lös ut y

Du vill ha bort y i nämnaren. Om du multiplicerar alla termer med y så slipper du y i nämnare.

Sen kan du flytta alla y till vänster sida och annat till högra sidan.

En annan variant är att lösa ut 1/y och sedan invertera. 

Om du använder den metod som Dr. G föreslår, så kan du börja så här: $\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{z}$
Vi vill ha y-termen ensam i VL (Vänster Led) , och minskar båda sidor med x-termen $\frac{1}{x}-\frac{1}{y}-\frac{1}{x}=\frac{1}{z}-\frac{1}{x}$
Då får vi: $-\frac{1}{y}=\frac{1}{z}-\frac{1}{x}$
Därefter multiplicerar vi båda sidor med -1 och får $\frac{1}{y}=\frac{1}{x}-\frac{1}{z}$

Hur går du vidare härifrån?

Varför byter $\frac{1}{z}-\frac{1}{x}$ plats med varandra efter att vi multiplicerat båda sidor med -1?

Man kan skriva $-\frac{1}{x}+\frac{1}{z}$ lika gärna. Skribenten tyckte det var snyggare med det andra sättet, för det blir ett tecken mindre. Det är ganska vanligt att man snyggar till så, men man måste inte.

Ett annat alternativ som kanske är mindre felbenäget är att först addera 1/y till båda sidor och sedan subtrahera 1/z från båda sidor.

Då slipper vi multiplicera med -1 för att bli av med minustecknet framför 1/y.

Pröva gärna båda sätten för att se vilket du föredrar.

Du frågar om varför termerna bytte plats. Termerna i en ekvation (eller i ett uttryck) kan placeras som man vill MEN observera att tecknet framför termen hör till termen och står det inget tecken så är det (underförstått) ett + tecken. Detta är en av tjusningarna med matten, att man kan göra på olika sätt och ändå få samma slutresultat - du väljer det som passar dig bäst.

Nu gäller nästa steg. Vi har $\frac{1}{y}=\frac{1}{x}-\frac{1}{z}$
Målet är att få y fritt på ena sidan. Även här kan man gå fram på olika sätt.
Jag skulle vilja föreslå att du först sätter HL på samma bråkstreck, dvs förlänger (multiplicerar) x- resp z-termen så att du får samma nämnare .