Lös ut sin ur ekvation

Menar du att lösa ut $\sin(v)$, eller menar du att fram ett värde på v? Oavsett, vad händer om adderar tre fjärdedelar till båda led?

Så långt är jag med. Men hur går man vidare från ${\sin }^{2}v =\hspace{0.17em}\frac{3}{4}$?

Det är omöjligt att lösa ut sin ur en ekvation, eftersom lösningen till en ekvation skall vara ett tal, och sinus (eller snarare sin(v) eller sin(x)) är en funktion, inte ett tal. Det är ungefär som att försöka ut "roten ur" från en ekvation.

För att lösa ekvationen $\sin^2v-\frac{3}{4}=0$ skulle jag börja med att byta ut sin(v) mot t och lösa andragradsekvationen $t^2=\frac{3}{4}$. Därefter skulle jag använda enhetscirkeln.

Fråga gärna igen om du behöver mer hjälp!

Hej :)

Tack för svaret! Varför byter man ut ${\sin }^2$ mot $t^2$ och vad är det som säger att det är möjligt? Jag vill veta så att jag undviker framtida fällor.

Min uträkning efter hjälp från dig:

$$\begin{gathered} {\sin }^2 v - \frac{3}{4} = 0 \\ {t}^2 - \frac{3}{4} = 0 \\ {t}^2 = \frac{3}{4} \\ t = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{gathered}$$

Är det riktigt att ovanstående värde nu utgör y-värdet i enhetscirkeln? Om ja, hur går man vidare härifrån?

axelb skrev:

Hej :)

Tack för svaret! Varför byter man ut ${\sin }^2$ mot $t^2$ och vad är det som säger att det är möjligt? Jag vill veta så att jag undviker framtida fällor.

Min uträkning efter hjälp från dig:

$$\begin{gathered} {\sin }^2 v - \frac{3}{4} = 0 \\ {t}^2 - \frac{3}{4} = 0 \\ {t}^2 = \frac{3}{4} \\ t = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{gathered}$$

Är det riktigt att ovanstående värde nu utgör y-värdet i enhetscirkeln? Om ja, hur går man vidare härifrån?

Nästan rätt, men du har glömt den negativa lösningen.

När du har kommit fram till dina två möjliga värden på t så kan du substituera tillbaka till sin(v) och lösa de två ekvationerna var för sig.

Använd då tabeller över exakta värden för sinusfunktionen och enhetscirkeln för att förstå hur lösningarna ligger.

För att göra det enklare att se hur man ska lösa ekvationen gör man en substitution med $t=\sin(v)$. När man kommit fram till:

$t=\pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ (det är viktigt med $\pm$ här eftersom både $(\frac{\sqrt{3}}{2})^2$ och $(-\frac{\sqrt{3}}{2})^2$ är $\frac{3}{4}$)

sätter man tillbaka $t=\sin(v)$ så att man får:

$\sin(v)$ $=\pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Dock tycker jag att denna ekvation är så pass enkel att man bara hade kunnat lösa den utan någon substitution:

$\sin^2(v)$ $-\dfrac{3}{4}=0$

$\sin^2(v)$ $=\dfrac{3}{4}$

$\sin(v)$ $=\pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Du byter inte ut $sin^2$ mot $t^2$, du gör substitutionen t = sin(v).

Ja, du har kommit fram till att $t=\frac{\sqrt3}{2}$, men det finns en lösning till, så $\sin(v)=\frac{\sqrt3}{2}$ eller $\sin(v)=-\frac{\sqrt3}{2}$. Kan du lösa de ekvationerna, lämpligen men hjälp av enhetscirkeln?

Sin (v) substitueras alltså enbart för att förenkla uträkningen?

AlvinB: Nu när jag förstått hur enkelt det är kan jag inget annat än hålla med om att substitution i detta fallet är onödigt.

Jag ska även nämna att inga hjälpmedel (formelblad, kalkylator, enhetscirkel) kommer vara tillåtna vid tentamen. Innebär det att jag behöver memorera radianerna för olika vinklar eller har jag missat ett smidigare tillvägagångssätt? Jag förstår logiken i att det finns en lösning var 180:e grad, men förstår inte hur jag räknar mig fram till det.

 $\sin \left(v\right)\hspace{0.17em}= \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Allt man behöver memorera är en sådan här tabell:

$v$             $\sin(v)$

$0$                $\dfrac{\sqrt{0}}{2}=0$

$30^{\circ}$           $\dfrac{\sqrt{1}}{2}=\dfrac{1}{2}$

$45^{\circ}$           $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$60^{\circ}$           $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$90^{\circ}$           $\dfrac{\sqrt{4}}{2}=1$

Kan man den och några trigonometriska identiteter kan man lösa de flesta trigonometriska ekvationer. 

Om man är osäker på det AlvinB skrev kan man lätt härleda det om man ritar upp en enhetscirkel och använder pytagoras sats.

Egentligen behöver man inte lära sig något av dessa exakta värden utantill.

Här är ett tips på hur man istället kan härleda de exakta värdena av både sinus och cosinus av 30°, 45° och 60°:

Exakta värden av sin(45°) och cos(45°): "Halv kvadrat"

Rita en kvadrat med sidlängd 1. Dela den på mitten med hjälp av en diagonal. Då bildar ena halvan en likbent rätvinklig triangel med vinklar 45°, 45° och 90°. Triangelns båda katetrar har längden $1$ och dess hypotenusa har längden $\sqrt{2}$ enligt pythagoras sats.

Använd nu de vanliga formlerna "sin(v) = (motstående katet)/(hypotenusa)" och  "cos(v) = (närliggande katet)/(hypotenusa)" för att få fram de exakta värdena av sin(45°) och cos(45°).

Exakta värden av sin(30°), cos(30°), sin(60°) och cos(60°): "Halv liksidig trisngel"

Rita en liksidig triangel med sidlängd 1. Eftersom triangeln är liksidig så är alla vinklar 60°. Dela nu triangeln på mitten med hjälp av en bisektris (delar en vinkel i två lika stora delar). Ena halvan bildar då en rätvinklig triangel med vinklar 30°, 60° och 90°. Triangelns hypotenusa har längden $1$, dess korta katet har längden $\frac{1}{2}$ och dess långa katet har längden $\frac{\sqrt{3}}{2}$ enligt pythagoras sats.

Använd nu de vanliga formlerna "sin(v) = (motstående katet)/(hypotenusa)" och  "cos(v) = (närliggande katet)/(hypotenusa)" för att få fram de exakta värdena för sin(30°), cos(30°), sin(60°) och cos(60°).

-------------

Gör gärna denna övning nu så vet du att du kan göra det vid behov på ett prov eller liknande.

Får du fram rätt värden?

Är det korrekt att göra som jag påbörjat ned? Tyvärr kommer jag inte vidare därifrån däremot.

$$\begin{gathered} \sin \left(v\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\pm \frac{\sqrt{3}}{2} \\ Motstående katet \times hypotenusan =\hspace{0.17em}\pm \frac{\sqrt{3}}{2} \\ Motstående katet \times 1 = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \\ Motstående katet = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \end{gathered}$$

Här är facit:

Det jag inte lyckas greppa är hur $\frac{\sqrt{3}}{2}$ blir $\frac{\mathrm{\pi }}{3}+2\mathrm{\pi n}$.

Du måste skilja på funktionens värde och argument till funktionen

om f(x) = sin(x) så är

f(x) funktionens värde och x är argumentet.

om som i ett av dina fall: $\sin \left(x\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

så är x = pi/3 +2npi, det kan också vara pi-2pi/3+2npi

Hur ser uträkningen ut för att komma fram till det svaret? Det förstår jag inte.

axelb skrev:

Hur ser uträkningen ut för att komma fram till det svaret? Det förstår jag inte.

 Vilken eller vilka delar undrar du över?

1. Att en lösning är $v=\frac{\pi }{3}$
2. Att funktionen är periodisk så att denna lösning egentligen är flera: $v=\frac{\pi }{3}+n\cdot 2\pi$
3. Att det även finns en annan lösning som är $v=\pi-\frac{\pi }{3}$
4. Att funktionen är periodisk så att även denna andra lösning egentligen är flera: $v=\pi-\frac{\pi }{3}+n\cdot 2\pi$

Ursäkta om jag var otydlig!

Jag förstår inte hur man räknar ut $\frac{\sqrt{3}}{2} \to \frac{\mathrm{\pi }}{3}$.

axelb skrev:

Ursäkta om jag var otydlig!

Jag förstår inte hur man räknar ut $\frac{\sqrt{3}}{2} \to \frac{\mathrm{\pi }}{3}$.

 OK.Antingen slår du det på räknaren "arcsin(pi/3)" eller så använder du kunskapen om att det exakta värdet av $sin(\frac{\pi }{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Detta värde hämtar du ur minnet, ur en tabell eller så härleder du det med hjälp av mitt tips "halv lilsidig triangel", sin(v)="motstående katet"/"hypotenusa", där v=60°=$\frac{\pi }{3}$, motstående katet är $\frac{\sqrt{3}}{2}$ och hypotenusan är 1.

---------

Har du gjort övningen jag tipsade om i detta svar?

Fråga gärna om det som är oklart, annars tror vi att du läser våra svar och följer våra råd.

Jag kommer tyvärr inte vidare härifrån. Kan du förklara hur jag räknat ut $\frac{\mathrm{\pi }}{3}$?

Du behöver veta att vinkeln $\frac{\pi}{3}$ radianer är samma sak som vinkeln $60°$. Skriv in det i din triangel i stället för  graderna.

axelb skrev:

Jag kommer tyvärr inte vidare härifrån. Kan du förklara hur jag räknat ut $\frac{\mathrm{\pi }}{3}$?

 Bra. Du har beräknat längden av den vertikala kateten. Men du ska inte räkna ut $\frac{\pi }{3}$, du ska komma fram till vilket det exakta värdet av $sin\left(\frac{\pi }{3}\right)$ är.

Det kan du göra på följande sätt:

Titta på den vänstra halvan av den stora triangeln.  Då ser du att det är en rätvinklig triangel med vinklar 60°, 30° och 90°.

Uttryckt i radianer är vinklarna $\frac{\pi }{3}$, $\frac{\pi }{6}$ och $\frac{\pi }{2}$.

Fråga 1: Är du med på det, dvs att vinkeln i nedre vänstra hörnet är $\frac{\pi }{3}$?

Nästa steg är att i en rätvinklig triangel så gäller följande samband:

Fråga 2: Är du med på det, att sin(v) = a/c, dvs att sinus för en vinkel är lika med "motstående katet" delat med "hypotenusa"?

Om vi nu tillämpar det sambandet för den nedre vänstra vinkeln i din figur så gäller att vinkeln är 60° (dvs $\frac{\pi }{3}$ radianer), att motstående katet har längden $\frac{\sqrt{3}}{2}$ och att hypotenusan har längden $1$.

Det innebär att $sin\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Fråga 3: Är du med på det, dvs att $sin\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$?

--------

Fråga 4: Kan du nu på samma sätt ta reda på de exakta värdena av $cos\left(\frac{\pi }{3}\right)$, $sin\left(\frac{\pi }{6}\right)$ och $cos\left(\frac{\pi }{6}\right)$?

Fråga 1
Ja, nu förstår jag.  $60° \leftrightarrow \frac{\mathrm{\pi }}{3} eftersom \mathrm{\pi } =\hspace{0.17em}180° \mathrm{och} \frac{180}{3}=60$.

Fråga 2
Ja, formlerna för sin och cos har jag i huvudet.

Fråga 3
Yes!

Fråga 4
De sista två uppgifterna förstår jag inte hur jag ska räkna ut. Jag skulle kunna se att $\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{6}\right)=\frac{1}{2}$ med hjälp av tabellen ovan, men ska det inte gå att räkna ut på något sätt?

$\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right)=$$\frac{1}{2}$

Rita en enhetscirkel. Rita in en stråle från origo med vinkeln $\frac{\pi}{3}$ (d v s 60 grader), räknat uppåt från positiva x-axeln. Dra en lodrät linje från den punkt där strålen korsar cirkeln och ner till x-axeln. Ser du att du har en rätvinklig triangel med vinklarna 60 grader (vinkeln vid origo), 30 grader (där strålen skär enhetscirkeln) och 90 grader (rakt upp från x-axeln)? Hur lång är hypotenusan? Hur lång är den vågräta kateten? Hur lång är den lodräta kateten? Vilket värde har $\sin(\frac{\pi}{3})$? Vilket värde har $\cos(\frac{\pi}{3})$? 

Det vet jag inte hur jag räknar ut. Jag skulle så klart kunna gissa på att y-värdet (vilket a/h = sin blir) blir ungefär 0,9, men så ska man väl inte gå tillväga.

axelb skrev:

Fråga 1
Ja, nu förstår jag.  $60° \leftrightarrow \frac{\mathrm{\pi }}{3} eftersom \mathrm{\pi } =\hspace{0.17em}180° \mathrm{och} \frac{180}{3}=60$.

Fråga 2
Ja, formlerna för sin och cos har jag i huvudet.

Fråga 3
Yes!

Fråga 4
De sista två uppgifterna förstår jag inte hur jag ska räkna ut. Jag skulle kunna se att $\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{6}\right)=\frac{1}{2}$ med hjälp av tabellen ovan, men ska det inte gå att räkna ut på något sätt?

$\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right)=$$\frac{1}{2}$

Bra att du förstår förklaringen inför fråga 3.

När du ska beräkna de exakta värdena av $cos(\frac{\pi }{3})$, $sin(\frac{\pi }{6})$ och $cos(\frac{\pi }{6})$ så gör du nämligen på precis samma sätt (hypotenusan har hela tiden längden 1):

1. Närliggande katet till vinkeln $\frac{\pi }{3}$ har längden $\frac{1}{2}$, alltså är $cos(\frac{\pi }{3})=\frac{\frac{1}{2}}{1}=\frac{1}{2}$.
2. Motstående katet till vinkeln $\frac{\pi }{6}$ har längden $\frac{1}{2}$, alltså är $sin(\frac{\pi }{6})=\frac{\frac{1}{2}}{1}=\frac{1}{2}$
3. Närliggande katet till vinkeln $\frac{\pi }{6}$ har längden $\frac{\sqrt{3}}{2}$, alltså är $cos(\frac{\pi }{6})=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Hängde du med?

Det här är precis samma resonemang som det Smaragdalena nämner.

Kräver uträkningen att jag memorerat att närliggande katet till $\frac{\mathrm{\pi }}{3}=\frac{1}{2}$ eller kan man få fram det värdet på annat vis? Om man inte vet det för att man memorerat det, så förstår jag inte hur det beräknas.

axelb skrev:

Kräver uträkningen att jag memorerat att närliggande katet till $\frac{\mathrm{\pi }}{3}=\frac{1}{2}$ eller kan man få fram det värdet på annat vis? Om man inte det för att man memorerat det, så förstår jag inte hur det beräknas.

Nej. Det är det som är så bra med metoden "en halv liksidig triangel" som jag skrev om i detta svar.

Läs det svaret igen och se till att du förstår allt som står i det. Fråga sedan här om det som du inte förstår.

Om du inte ber om förklaring om det du tycker är oklart så förutsätter vi att du

• läser alla svar
• förstår det som står
• följer våra råd

Tänker man alltså såhär:

1. Hypotenusen är 1, enligt trigonometriska ettan.
2. När vinkeln är 60°/$\frac{\mathrm{\pi }}{3}$ så är den närliggande kateten $\frac{1}{2}$.
3. Med den vetskapen kan jag med hjälp av Pythagoras sats beräkna
   $a^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=1^{2 } \to a^2 + \frac{1}{4} = 1 \to a = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Det som jag inte förstod tidigare var hur kateternas längd ska räknas ut när man enbart känner till hypotenusans längd. Det krävs ju två längder för att räkna ut den tredje enligt Pythagoras sats.

Du vet att det handlar om "en halv liksidig triangel", d v s du vet att den korta kateten är precis hälften så lång som hypotenusan. Då har du redan två av sidorna i triangeln, så du kan beräkna den tredje. När du har gjort detta tillräckligt många gånger kommer du att lära dig att den tredje sidan är $\frac{\sqrt3}{2}$ bara för att slippa räkna ut det igen. (För egen del tycker jag att det är lättast att komma ihåg att sidorna är $1$, $2$, $\sqrt3$ och att det är hypotenusan som är 2 (det är ju det största talet).)

Då blir det ett sista försök där jag förhoppningsvis klarar uppgiften:

$$\begin{gathered} {\sin }^{2}v -\frac{3}{4} = 0 \\ {\sin }^{2}v = \frac{3}{4} \\ \sin v = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \\ Svar: \pm \frac{\mathrm{\pi }}{3}+\mathrm{\pi n} \end{gathered}$$

Tänker jag rätt om jag tänker att det faktum att $\mathbf{\pm }$ finns med i svaret gör att det inte behöver stå $\mathbf{+}\mathbf{2}\mathbf{\pi n}$, utan räcker med $\mathbf{+}\mathbf{\pi n}$?

Du saknar ett steg i din uträkning.

Om $sin(v)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ så gäller att

$v_1=\frac{\pi }{3}+n\cdot 2\pi$

$v_2=\pi -\frac{\pi }{3}+n\cdot 2\pi =\frac{2\pi }{3}+n\cdot 2\pi$

Om $sin(v)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ så gäller att

$v_3=-\frac{\pi }{3}+n\cdot 2\pi$

$v_4=\pi -(-\frac{\pi }{3}+n\cdot 2\pi )=-\frac{2\pi }{3}+n\cdot 2\pi$