30 svar
788 visningar
axelb 38 – Fd. Medlem
Postad: 11 aug 2018 17:59

Lös ut sin ur ekvation

Hur gör man för att lösa ut sin i en sån här ekvation?

Bestäm alla lösningar till ekvationen

sin2v - 34 = 0


Tack på förhand!

Menar du att lösa ut sin(v)\sin(v), eller menar du att fram ett värde på v? Oavsett, vad händer om adderar tre fjärdedelar till båda led?

axelb 38 – Fd. Medlem
Postad: 11 aug 2018 18:15 Redigerad: 11 aug 2018 18:16

Så långt är jag med. Men hur går man vidare från sin2v =34?

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 11 aug 2018 19:31 Redigerad: 11 aug 2018 19:32

Det är omöjligt att lösa ut sin ur en ekvation, eftersom lösningen till en ekvation skall vara ett tal, och sinus (eller snarare sin(v) eller sin(x)) är en funktion, inte ett tal. Det är ungefär som att försöka ut "roten ur" från en ekvation.

För att lösa ekvationen sin2v-34=0\sin^2v-\frac{3}{4}=0 skulle jag börja med att byta ut sin(v) mot t och lösa andragradsekvationen t2=34t^2=\frac{3}{4}. Därefter skulle jag använda enhetscirkeln.

Fråga gärna igen om du behöver mer hjälp!

axelb 38 – Fd. Medlem
Postad: 12 aug 2018 09:51

Hej :)

Tack för svaret! Varför byter man ut sin2 mot t2 och vad är det som säger att det är möjligt? Jag vill veta så att jag undviker framtida fällor.

Min uträkning efter hjälp från dig:

sin2 v - 34  = 0t2 - 34 = 0t2 = 34t = 32

Är det riktigt att ovanstående värde nu utgör y-värdet i enhetscirkeln? Om ja, hur går man vidare härifrån?

Yngve Online 40141 – Livehjälpare
Postad: 12 aug 2018 09:57
axelb skrev:

Hej :)

Tack för svaret! Varför byter man ut sin2 mot t2 och vad är det som säger att det är möjligt? Jag vill veta så att jag undviker framtida fällor.

Min uträkning efter hjälp från dig:

sin2 v - 34  = 0t2 - 34 = 0t2 = 34t = 32

Är det riktigt att ovanstående värde nu utgör y-värdet i enhetscirkeln? Om ja, hur går man vidare härifrån?

Nästan rätt, men du har glömt den negativa lösningen.

När du har kommit fram till dina två möjliga värden på t så kan du substituera tillbaka till sin(v) och lösa de två ekvationerna var för sig.

Använd då tabeller över exakta värden för sinusfunktionen och enhetscirkeln för att förstå hur lösningarna ligger.

AlvinB 4014
Postad: 12 aug 2018 09:58 Redigerad: 12 aug 2018 09:58

För att göra det enklare att se hur man ska lösa ekvationen gör man en substitution med t=sin(v)t=\sin(v). När man kommit fram till:

t=±32t=\pm \dfrac{\sqrt{3}}{2} (det är viktigt med ±\pm här eftersom både (32)2(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 och (-32)2(-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 är 34\frac{3}{4})

sätter man tillbaka t=sin(v)t=\sin(v) så att man får:

sin(v)\sin(v) =±32=\pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}

Dock tycker jag att denna ekvation är så pass enkel att man bara hade kunnat lösa den utan någon substitution:

sin2(v)\sin^2(v) -34=0-\dfrac{3}{4}=0

sin2(v)\sin^2(v) =34=\dfrac{3}{4}

sin(v)\sin(v) =±32=\pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 12 aug 2018 09:58 Redigerad: 12 aug 2018 10:24

Du byter inte ut sin2sin^2 mot t2t^2, du gör substitutionen t = sin(v).

Ja, du har kommit fram till att t=32t=\frac{\sqrt3}{2}, men det finns en lösning till, så sin(v)=32\sin(v)=\frac{\sqrt3}{2} eller sin(v)=-32\sin(v)=-\frac{\sqrt3}{2}. Kan du lösa de ekvationerna, lämpligen men hjälp av enhetscirkeln?

axelb 38 – Fd. Medlem
Postad: 12 aug 2018 10:48

Sin (v) substitueras alltså enbart för att förenkla uträkningen?

AlvinB: Nu när jag förstått hur enkelt det är kan jag inget annat än hålla med om att substitution i detta fallet är onödigt.

Jag ska även nämna att inga hjälpmedel (formelblad, kalkylator, enhetscirkel) kommer vara tillåtna vid tentamen. Innebär det att jag behöver memorera radianerna för olika vinklar eller har jag missat ett smidigare tillvägagångssätt? Jag förstår logiken i att det finns en lösning var 180:e grad, men förstår inte hur jag räknar mig fram till det.

 sin(v)= ±32

AlvinB 4014
Postad: 12 aug 2018 11:15 Redigerad: 12 aug 2018 11:16

Allt man behöver memorera är en sådan här tabell:

vv             sin(v)\sin(v)

00                02=0\dfrac{\sqrt{0}}{2}=0

30°30^{\circ}           12=12\dfrac{\sqrt{1}}{2}=\dfrac{1}{2}

45°45^{\circ}           22\dfrac{\sqrt{2}}{2}

60°60^{\circ}           32\dfrac{\sqrt{3}}{2}

90°90^{\circ}           42=1\dfrac{\sqrt{4}}{2}=1

Kan man den och några trigonometriska identiteter kan man lösa de flesta trigonometriska ekvationer. 

Ture 10269 – Livehjälpare
Postad: 12 aug 2018 11:22

 

Om man är osäker på det AlvinB skrev kan man lätt härleda det om man ritar upp en enhetscirkel och använder pytagoras sats.

Yngve Online 40141 – Livehjälpare
Postad: 12 aug 2018 13:58 Redigerad: 12 aug 2018 14:06

Egentligen behöver man inte lära sig något av dessa exakta värden utantill.

Här är ett tips på hur man istället kan härleda de exakta värdena av både sinus och cosinus av 30°, 45° och 60°:

Exakta värden av sin(45°) och cos(45°): "Halv kvadrat"

Rita en kvadrat med sidlängd 1. Dela den på mitten med hjälp av en diagonal. Då bildar ena halvan en likbent rätvinklig triangel med vinklar 45°, 45° och 90°. Triangelns båda katetrar har längden 11 och dess hypotenusa har längden 2\sqrt{2} enligt pythagoras sats.

Använd nu de vanliga formlerna "sin(v) = (motstående katet)/(hypotenusa)" och  "cos(v) = (närliggande katet)/(hypotenusa)" för att få fram de exakta värdena av sin(45°) och cos(45°).

Exakta värden av sin(30°), cos(30°), sin(60°) och cos(60°): "Halv liksidig trisngel"

Rita en liksidig triangel med sidlängd 1. Eftersom triangeln är liksidig så är alla vinklar 60°. Dela nu triangeln på mitten med hjälp av en bisektris (delar en vinkel i två lika stora delar). Ena halvan bildar då en rätvinklig triangel med vinklar 30°, 60° och 90°. Triangelns hypotenusa har längden 11, dess korta katet har längden 12\frac{1}{2} och dess långa katet har längden 32\frac{\sqrt{3}}{2} enligt pythagoras sats.

Använd nu de vanliga formlerna "sin(v) = (motstående katet)/(hypotenusa)" och  "cos(v) = (närliggande katet)/(hypotenusa)" för att få fram de exakta värdena för sin(30°), cos(30°), sin(60°) och cos(60°).

-------------

Gör gärna denna övning nu så vet du att du kan göra det vid behov på ett prov eller liknande.

Får du fram rätt värden?

axelb 38 – Fd. Medlem
Postad: 13 aug 2018 09:28

Är det korrekt att göra som jag påbörjat ned? Tyvärr kommer jag inte vidare därifrån däremot.

sin(v)=±32Motstående katet × hypotenusan =±32Motstående katet × 1 = ±32Motstående katet = ±32

 

Här är facit:

Det jag inte lyckas greppa är hur 32 blir π3+2πn.

Ture 10269 – Livehjälpare
Postad: 13 aug 2018 09:45 Redigerad: 13 aug 2018 09:53

Du måste skilja på funktionens värde och argument till funktionen

om f(x) = sin(x) så är

f(x) funktionens värde och x är argumentet.

om som i ett av dina fall: sin(x) = 32

så är x = pi/3 +2npi, det kan också vara pi-2pi/3+2npi

axelb 38 – Fd. Medlem
Postad: 13 aug 2018 10:03

Hur ser uträkningen ut för att komma fram till det svaret? Det förstår jag inte.

Yngve Online 40141 – Livehjälpare
Postad: 13 aug 2018 10:27 Redigerad: 13 aug 2018 10:34
axelb skrev:

Hur ser uträkningen ut för att komma fram till det svaret? Det förstår jag inte.

 Vilken eller vilka delar undrar du över?

  1. Att en lösning är v=π3v=\frac{\pi }{3}
  2. Att funktionen är periodisk så att denna lösning egentligen är flera: v=π3+n·2πv=\frac{\pi }{3}+n\cdot 2\pi
  3. Att det även finns en annan lösning som är v=π-π3v=\pi-\frac{\pi }{3}
  4. Att funktionen är periodisk så att även denna andra lösning egentligen är flera: v=π-π3+n·2πv=\pi-\frac{\pi }{3}+n\cdot 2\pi
axelb 38 – Fd. Medlem
Postad: 13 aug 2018 10:36

Ursäkta om jag var otydlig!

Jag förstår inte hur man räknar ut 32  π3.

Yngve Online 40141 – Livehjälpare
Postad: 13 aug 2018 10:42 Redigerad: 13 aug 2018 10:47
axelb skrev:

Ursäkta om jag var otydlig!

Jag förstår inte hur man räknar ut 32  π3.

 OK.Antingen slår du det på räknaren "arcsin(pi/3)" eller så använder du kunskapen om att det exakta värdet av sin(π3)=32sin(\frac{\pi }{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}.

Detta värde hämtar du ur minnet, ur en tabell eller så härleder du det med hjälp av mitt tips "halv lilsidig triangel", sin(v)="motstående katet"/"hypotenusa", där v=60°=π3\frac{\pi }{3}, motstående katet är 32\frac{\sqrt{3}}{2} och hypotenusan är 1.

---------

Har du gjort övningen jag tipsade om i detta svar?

Fråga gärna om det som är oklart, annars tror vi att du läser våra svar och följer våra råd.

axelb 38 – Fd. Medlem
Postad: 13 aug 2018 11:12

Jag kommer tyvärr inte vidare härifrån. Kan du förklara hur jag räknat ut π3?

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 13 aug 2018 11:20

Du behöver veta att vinkeln π3\frac{\pi}{3} radianer är samma sak som vinkeln 60°. Skriv in det i din triangel i stället för  graderna.

Yngve Online 40141 – Livehjälpare
Postad: 13 aug 2018 11:34 Redigerad: 13 aug 2018 11:41
axelb skrev:

Jag kommer tyvärr inte vidare härifrån. Kan du förklara hur jag räknat ut π3?

 Bra. Du har beräknat längden av den vertikala kateten. Men du ska inte räkna ut π3, du ska komma fram till vilket det exakta värdet av sin(π3) är.

Det kan du göra på följande sätt:

Titta på den vänstra halvan av den stora triangeln.  Då ser du att det är en rätvinklig triangel med vinklar 60°, 30° och 90°.

Uttryckt i radianer är vinklarna π3\frac{\pi }{3}π6 och π2.

Fråga 1: Är du med på det, dvs att vinkeln i nedre vänstra hörnet är π3\frac{\pi }{3}?

Nästa steg är att i en rätvinklig triangel så gäller följande samband:

Fråga 2: Är du med på det, att sin(v) = a/c, dvs att sinus för en vinkel är lika med "motstående katet" delat med "hypotenusa"?

Om vi nu tillämpar det sambandet för den nedre vänstra vinkeln i din figur så gäller att vinkeln är 60° (dvs π3\frac{\pi }{3} radianer), att motstående katet har längden 32 och att hypotenusan har längden 1.

Det innebär att sin(π3)=321=32.

Fråga 3: Är du med på det, dvs att sin(π3)=32?

--------

Fråga 4: Kan du nu på samma sätt ta reda på de exakta värdena av cos(π3), sin(π6) och cos(π6)?

axelb 38 – Fd. Medlem
Postad: 13 aug 2018 14:04 Redigerad: 13 aug 2018 14:06

Fråga 1
Ja, nu förstår jag.  60°  π3 eftersom π =180° och 1803=60.

Fråga 2
Ja, formlerna för sin och cos har jag i huvudet.

Fråga 3
Yes!

Fråga 4
De sista två uppgifterna förstår jag inte hur jag ska räkna ut. Jag skulle kunna se att sinπ6=12 med hjälp av tabellen ovan, men ska det inte gå att räkna ut på något sätt?

cosπ3=12

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 13 aug 2018 14:14 Redigerad: 13 aug 2018 14:15

Rita en enhetscirkel. Rita in en stråle från origo med vinkeln π3\frac{\pi}{3} (d v s 60 grader), räknat uppåt från positiva x-axeln. Dra en lodrät linje från den punkt där strålen korsar cirkeln och ner till x-axeln. Ser du att du har en rätvinklig triangel med vinklarna 60 grader (vinkeln vid origo), 30 grader (där strålen skär enhetscirkeln) och 90 grader (rakt upp från x-axeln)? Hur lång är hypotenusan? Hur lång är den vågräta kateten? Hur lång är den lodräta kateten? Vilket värde har sin(π3)\sin(\frac{\pi}{3})? Vilket värde har cos(π3)\cos(\frac{\pi}{3})

axelb 38 – Fd. Medlem
Postad: 13 aug 2018 14:28

Det vet jag inte hur jag räknar ut. Jag skulle så klart kunna gissa på att y-värdet (vilket a/h = sin blir) blir ungefär 0,9, men så ska man väl inte gå tillväga.

Yngve Online 40141 – Livehjälpare
Postad: 13 aug 2018 14:36 Redigerad: 13 aug 2018 14:39
axelb skrev:

Fråga 1
Ja, nu förstår jag.  60°  π3 eftersom π =180° och 1803=60.

Fråga 2
Ja, formlerna för sin och cos har jag i huvudet.

Fråga 3
Yes!

Fråga 4
De sista två uppgifterna förstår jag inte hur jag ska räkna ut. Jag skulle kunna se att sinπ6=12 med hjälp av tabellen ovan, men ska det inte gå att räkna ut på något sätt?

cosπ3=12

Bra att du förstår förklaringen inför fråga 3.

När du ska beräkna de exakta värdena av cos(π3)cos(\frac{\pi }{3}), sin(π6)sin(\frac{\pi }{6}) och cos(π6)cos(\frac{\pi }{6}) så gör du nämligen på precis samma sätt (hypotenusan har hela tiden längden 1):

  1. Närliggande katet till vinkeln π3\frac{\pi }{3} har längden 12\frac{1}{2}, alltså är cos(π3)=121=12cos(\frac{\pi }{3})=\frac{\frac{1}{2}}{1}=\frac{1}{2}.
  2. Motstående katet till vinkeln π6\frac{\pi }{6} har längden 12\frac{1}{2}, alltså är sin(π6)=121=12sin(\frac{\pi }{6})=\frac{\frac{1}{2}}{1}=\frac{1}{2}
  3. Närliggande katet till vinkeln π6\frac{\pi }{6} har längden 32\frac{\sqrt{3}}{2}, alltså är cos(π6)=321=32cos(\frac{\pi }{6})=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}.

Hängde du med?

Det här är precis samma resonemang som det Smaragdalena nämner.

axelb 38 – Fd. Medlem
Postad: 13 aug 2018 14:44 Redigerad: 13 aug 2018 14:46

Kräver uträkningen att jag memorerat att närliggande katet till π3=12 eller kan man få fram det värdet på annat vis? Om man inte vet det för att man memorerat det, så förstår jag inte hur det beräknas.

Yngve Online 40141 – Livehjälpare
Postad: 13 aug 2018 14:48 Redigerad: 13 aug 2018 14:53
axelb skrev:

Kräver uträkningen att jag memorerat att närliggande katet till π3=12 eller kan man få fram det värdet på annat vis? Om man inte det för att man memorerat det, så förstår jag inte hur det beräknas.

Nej. Det är det som är så bra med metoden "en halv liksidig triangel" som jag skrev om i detta svar.

Läs det svaret igen och se till att du förstår allt som står i det. Fråga sedan här om det som du inte förstår.

Om du inte ber om förklaring om det du tycker är oklart så förutsätter vi att du

  • läser alla svar
  • förstår det som står
  • följer våra råd
axelb 38 – Fd. Medlem
Postad: 13 aug 2018 14:59 Redigerad: 13 aug 2018 14:59

Tänker man alltså såhär:

1. Hypotenusen är 1, enligt trigonometriska ettan.
2. När vinkeln är 60°/π3 så är den närliggande kateten 12.
3. Med den vetskapen kan jag med hjälp av Pythagoras sats beräkna
   a2+122=12   a2 + 14 = 1 a = 34 = 32

 

Det som jag inte förstod tidigare var hur kateternas längd ska räknas ut när man enbart känner till hypotenusans längd. Det krävs ju två längder för att räkna ut den tredje enligt Pythagoras sats.

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 13 aug 2018 15:41

Du vet att det handlar om "en halv liksidig triangel", d v s du vet att den korta kateten är precis hälften så lång som hypotenusan. Då har du redan två av sidorna i triangeln, så du kan beräkna den tredje. När du har gjort detta tillräckligt många gånger kommer du att lära dig att den tredje sidan är 32\frac{\sqrt3}{2} bara för att slippa räkna ut det igen. (För egen del tycker jag att det är lättast att komma ihåg att sidorna är 11, 22, 3\sqrt3 och att det är hypotenusan som är 2 (det är ju det största talet).)

axelb 38 – Fd. Medlem
Postad: 13 aug 2018 16:50

Då blir det ett sista försök där jag förhoppningsvis klarar uppgiften:

sin2v -34 = 0sin2v = 34sin v = ±32Svar: ±π3+πn

Tänker jag rätt om jag tänker att det faktum att ± finns med i svaret gör att det inte behöver stå +2πn, utan räcker med +πn?

Yngve Online 40141 – Livehjälpare
Postad: 13 aug 2018 17:21 Redigerad: 13 aug 2018 17:34

Du saknar ett steg i din uträkning.

Om sin(v)=32sin(v)=\frac{\sqrt{3}}{2} så gäller att

v1=π3+n·2πv_1=\frac{\pi }{3}+n\cdot 2\pi

v2=π-π3+n·2π=2π3+n·2πv_2=\pi -\frac{\pi }{3}+n\cdot 2\pi =\frac{2\pi }{3}+n\cdot 2\pi

Om sin(v)=-32sin(v)=-\frac{\sqrt{3}}{2} så gäller att

v3=-π3+n·2πv_3=-\frac{\pi }{3}+n\cdot 2\pi

v4=π-(-π3+n·2π)=-2π3+n·2πv_4=\pi -(-\frac{\pi }{3}+n\cdot 2\pi )=-\frac{2\pi }{3}+n\cdot 2\pi

Svara
Close