Lös tredjegradsekvation med vietas formel

Om jag har förstått det hela rätt så gäller denna metod endast för vissa x^3 polynom. Utgångspunkt är x^3+px+q=0 och sedan kommer man fram till att p=-27/4. Alltså gäller metoden enbart för polynom av typen

$f\left(x\right)=x^3 -\frac{27}{4}x+q$

där man enbart kan variera q. Dock har jag för mig att det finns ett sätt att reducera ett allmänt x^3 polynom till formen x^3+px+q. Då kan man helt plötsligt lösa en hel del ekvationer, under förutsättningen att p=-27/4.

Du kan välja r så att r³/8r blir 4/3. Då stämmer din ekvation med den i b. Formeln för trippla vinkeln kan jag inte, men den går väl att slå upp.

a)  du har fått s=-q/r  men det borde vara s=-q/p

Hej,

    $\cos 3v = \cos(v+2v)=\cos v (2\cos^2 v-1)-2\sin^2v\cos v = 2\cos^3v-\cos v - 2(1-\cos^2v)\cos v=4\cos^3v-3\cos v.$

Tredjegradsekvationen motsvaras av $\cos 3v = s$ som har lösning endast om $s\in[-1,1].$

Om $x=r\cos v$ så blir $x^3+px=\frac{r^3}{4} \cdot 4\cos^3v + \frac{pr}{-3} \cdot (-3)\cos v$ så ekvationen

    $x^3+px+q=0\iff4\cos^3v+\frac{4p}{(-3)r^2}\cdot (-3)\cos v=-\frac{4q}{r^3}.$

Välj $r$ så att $4p+3r^2=0$ för då får man att

    $x^3+px+q=0\iff 4\cos^3v-3\cos v=s$

där $s = -\frac{4q}{r^3}.$ För att detta ska vara meningsfullt krävs att $-r^3<4q<r^3.$

Om $q=2$ så måste $r>2$ varför man kan välja $r=3$, vilket tvingar $4p+27=0.$ Vietas metod transformerar ekvationen

    $4x^3-27x+8=0$

till ekvationen

    $\cos3v=-\frac{8}{27}$

vars lösning är $v=\frac{1}{3}\arccos(-\frac{8}{27})$ som motsvarar

    $x=3\cos\frac{1}{3}\arccos(-\frac{8}{27}).$