Lös olikheten

Man kan multiplicera båda led med $e^x$, så ser det lite snällare ut (om man multiplicerar leden i en olikhet med något negativt ska olikhetstecknet vändas, men e^x är aldrig negativt så det behöver vi inte tänka på):

$e^{2x} + 2 < 3e^x$

Samla termerna i vänsterledet, och byt $e^x$ mot t, så fås

$t^2-3t+2<0$

Den här olikheten är lättare att lösa, och sen kan man översätta intervallet av giltiga t-värden till ett intervall av giltiga x-värden, genom $t=e^x$. Sen är det bara att räkna antalet heltals-x i det intervallet =)

Hur kunde du komma fram till  att x = nånting när du startade med en olikhet?

mada59 skrev:

Jag kom fram till $x_1=\ln \left(\frac{3+5}{2}\right) och x_2=\ln \left(\frac{3-5}{2}\right)$vilket i för sig kan vara rätt svar (facit = 0.) 

Vad betyder $x_1$ och $x_2$?
Är det gränserna för det intervall för vilket olikheten är uppfylld?

Din $x_2=\ln(\frac{3-5}{2})=\ln(-1)$ är odefinierad, så den kan inte stämma.

Om du visar hur du kom fram till ditt resultat så kan vi hjälpa dig att hitta var det gick snett.

Hej,

Låt funktionen $f(x) = e^x+2e^{-x}$ där $x\in \mathbb{R}$.

• På intervallet $(-\infty,0]$ är funktionen strängt avtagande vilket betyder att $f(x) > f(0)$ när $x<0$. Notera att $f(0) = 3$ så om olikheten $f(x)<3$ har några heltalslösningar så måste dessa vara positiva heltal.
• På intervallet $[\ln\sqrt{2},\infty)$ är funktionen strängt växande vilket betyder att $f(x) > f(\ln \sqrt{2})$ när $x>\ln\sqrt{2}\approx 0.35$. Speciellt är $f(1) = e+2e^{-1} >3$ vilket visar att om olikheten $f(x)<3$ har några heltalslösningar så måste dessa vara positiva heltal i intervallet $(0,\ln\sqrt{2})$.
• Det finns inga heltal i intervallet $(0,\ln\sqrt{2})$.

Beräkningarna visar att det saknas heltal som uppfyller olikheten $e^x+2e^{-x}<3$.

Smaragdalena skrev:

Hur kunde du komma fram till  att x = nånting när du startade med en olikhet?

Det är en bra fråga! Kan nog börja där för att se vart det gick snett. 

Skaft skrev:

Man kan multiplicera båda led med $e^x$, så ser det lite snällare ut (om man multiplicerar leden i en olikhet med något negativt ska olikhetstecknet vändas, men e^x är aldrig negativt så det behöver vi inte tänka på):

$e^{2x} + 2 < 3e^x$

Samla termerna i vänsterledet, och byt $e^x$ mot t, så fås

$t^2-3t+2<0$

Den här olikheten är lättare att lösa, och sen kan man översätta intervallet av giltiga t-värden till ett intervall av giltiga x-värden, genom $t=e^x$. Sen är det bara att räkna antalet heltals-x i det intervallet =)

Jag tänker att man kanske kan lösa(?bättre ord) andra grads ekvationen med hjälp av pq-formeln, men jag vet inte hur eller om den fungerar för en olikhet? 

EDIT: typo.

Jag tycker olikheter är krångliga. Därför brukar jag lös motsvarande ekvation istället, och fundera på om det "godkända" området är ovanför eller undre gränslinjen separat. 

Du har olikheten e^x+2e^-x < 3. Här skulle jag istället undersöka ekvationen e^x+2e^-x-3 = 0. Först skulle jag byta ut ex mot t för att få en enklare ekvation. Det blir t + 2/t - 3 = 0 (t kan inte ha värdet 0). Multiplicera allt med t, så blir det t²-3t+2 = 0. Lös med pq-formeln. Räkna om från t till x. Sätt in x-värdena i ekvationen e^x+2e^-x-3 = 0 och kolla om båda stämmer. Välj ett värde som ligger mellan de båda framräknade x-värdena och undersök om e^x+2e^-xär större eller mindre än 3.

Behöver du mer hjälp, så visa hur längt du har kommit och fråga igen.

Jag fick fram 

$x_1=\ln 1 och x_2=\ln 2$

vilka båda gav,

$e^x+2e^{-x}=3$

vilket ger att båda lösningarna är ogiltiga.

Utesluter det här att det finns några andra möjliga heltalslösningar för $e^x+2e^{-x}<3$?

Jag tänker att lösningen möjligörs av att $e^x$ = t alltid är större än noll. Jag har lärt mig att det är allmänt praxis att inte förlänga/förkorta med variabler, men vad jag förstår så är enda saken som ställer till det är om variabeln har möjlighet att vara noll? (Det har blivit så inmatat i mig så jag fortfarande ifrågasätter om det fungerar xd).

e^x är alltid positivt, både om x är positivt och om x är negativt. Det gör att det är ofarligt att multiplicera båda sidor med e^x (eller t). Om du förkortar med en variabel eller ett polynom, så måste du undersöka vad som händer om variabeln eller polynomet har värdet 0.

Vilket värde har ln(1)? Vilket värde har ln(2)? Finns det något heltal mellan dessa båda tal?

Smaragdalena skrev:

e^x är alltid positivt, både om x är positivt och om x är negativt. Det gör att det är ofarligt att multiplicera båda sidor med e^x (eller t). Om du förkortar med en variabel eller ett polynom, så måste du undersöka vad som händer om variabeln eller polynomet har värdet 0.

Vilket värde har ln(1)? Vilket värde har ln(2)? Finns det något heltal mellan dessa båda tal?

Kan du förklara varför det spelar någon roll om det finns något heltal mellan ln(1) (=0) och ln(2)?

Det är antalet heltalslösningar som efterfrågas i uppgiften.

Alternativ metod är att derivera och undersöka eventuellt/-a max/min. Genom att kontrollera x-värden (heltal) kring min/max kan man se om finns några heltal för f(x)<3.

Yngve skrev:

Det är antalet heltalslösningar som efterfrågas i uppgiften.

Ja, men varför ska jag leta efter dem inom just det intervallet?

Välj ett tal som är större än ln(1) (=0) men mindre än ln(2) (=0,69 ungefär), t ex x = 0,5. Vilket värde har uttrycket e^x+2e^-x? Mindre än 3, precis som det skulle vara i uppgiften, eller hur?! Det betyder att om 0 < x < 0,69 så är e^x+2/e^x mindre än 3. Finns det några heltal i detta intervall?

mada59 skrev:

Ja, men varför ska jag leta efter dem inom just det intervallet?

Använd din grafräknare, Desmos, Geogebra eller npgot annat verktyg för att rita grafen till $f(x)=e^x+2e^{-x}-3$.

Det intressanta intervallet/intervallen är det/de där grafen ligger under x-axeln eftersom det endast är där som olikheten $e^x+2e^{-x}<3$ är uppfylld.

Yngve skrev:

mada59 skrev:

Ja, men varför ska jag leta efter dem inom just det intervallet?

Använd din grafräknare, Desmos, Geogebra eller npgot annat verktyg för att rita grafen till $f(x)=e^x+2e^{-x}-3$.

Det intressanta intervallet/intervallen är det/de där grafen ligger under x-axeln eftersom det endast är där som olikheten $e^x+2e^{-x}<3$ är uppfylld.

Inga hjälpmedel är tillåtna.

Smaragdalena skrev:

Välj ett tal som är större än ln(1) (=0) men mindre än ln(2) (=0,69 ungefär), t ex x = 0,5. Vilket värde har uttrycket e^x+2e^-x? Mindre än 3, precis som det skulle vara i uppgiften, eller hur?! Det betyder att om 0 < x < 0,69 så är e^x+2/e^x mindre än 3. Finns det några heltal i detta intervall?

Hur vet vi att intervallet är ln (1) < x < ln (2), och inte t.ex. (x < ln(1) och x < ln(2)) eller (x < ln (1) eller x > ln (2))?

Du menar ln(1), inte ln(0).

ln(x) är växande, så om a < x < b, så gäller också ln(a) < ln(x) < ln(b) (om a är > 0 förstås). 

mada59 skrev:

Yngve skrev:

Visa föregående citat

mada59 skrev:

Visa föregående citat

Ja, men varför ska jag leta efter dem inom just det intervallet?

Använd din grafräknare, Desmos, Geogebra eller npgot annat verktyg för att rita grafen till $f(x)=e^x+2e^{-x}-3$.

Det intressanta intervallet/intervallen är det/de där grafen ligger under x-axeln eftersom det endast är där som olikheten $e^x+2e^{-x}<3$ är uppfylld.

Inga hjälpmedel är tillåtna.

Varför tror du det? Ingen vettig gymnasielärare skulle ge en sådan här uppgift utan att låta eleven använda räknare.

Smaragdalena skrev:

mada59 skrev:

Visa föregående citat

Yngve skrev:

mada59 skrev:

Ja, men varför ska jag leta efter dem inom just det intervallet?

Använd din grafräknare, Desmos, Geogebra eller npgot annat verktyg för att rita grafen till $f(x)=e^x+2e^{-x}-3$.

Det intressanta intervallet/intervallen är det/de där grafen ligger under x-axeln eftersom det endast är där som olikheten $e^x+2e^{-x}<3$ är uppfylld.

Inga hjälpmedel är tillåtna.

Varför tror du det? Ingen vettig gymnasielärare skulle ge en sådan här uppgift utan att låta eleven använda räknare.

Hej,

frågan kommer ifrån ett gammalt prov. Det står explicit "Inga hjälpmedel tillåtna.".

Att ln(1) = 0 och att ln(2) < 1 bör du i alla fall veta.

Att rita upp grafen till funktionen skulle underlätta förståelsen för problemet och direkt visa dig det intervall som är intressant. 

Men du behöver inte använda räknare, inte heller rita grafen till just den funktionen.

Istället kan du göra så här:

Funktionen $f(x)=e^x+2e^{-x}-3$ och du ska lösa olikheten $f(x)<0$

Genom att lösa ekvationen $f(x)=0$ så har du kommit fram till att nollställena är $x=0$ (inte $x=ln(0)$) och $x=\ln(2)$.

Det betyder att grafen till $y=f(x)$ nuddar/skär $x$-axeln endast i dessa två punkter.

Det betyder att om olikheten $f(x)<0$ överhuvudtaget har någon lösning så måste lösningen/lösningarna vara antingen intervallet $x<0$, intervallet $0<x<\ln(2)$, intervallet $x>\ln(2)$ eller en kombination av dessa.

För att ta reda på vilket/vilka av dessa intervall som löser olikheten så kan du helt enkelt välja en punkt från varje intervall och pröva om det gäller att funktionsvärdet i den punkten är större än eller mindre än $0$.

Så här:

• Om det t.ex. gäller att $f(-1)<0$ så är $x<0$ en lösning till olikheten.
• Om det t.ex. gäller att $f(0,5)<0$ så är $0<x<\ln(2)$ en lösning till olikheten.
• Om det t.ex. gäller att $f(1)<0$ så är $x>\ln(2)$ en lösning till olikheten.

Hänger du med på resonemanget?