lös linjära diffarensialekvationer

Duger inte P(x) = -1?

Jag skulle först lösa y'-y = 0 och sedan hitta en partikulärlösning till y'-y = -x.

Jag provar P(X)=-1

Metoden med =0 verkar svårare, vi lär ska lära oss den senare i samband med 2 grads diff-ekvationer.

$y'-y=0$ Skriv om det till $y'=y$. Visst har du lärt dig lösa sådana diffekvationer? Vad är det för ekvation som är lika med sin egen derivata?

 facit säger x+1+C*e^-x Varifrån får de minuset framför x? Primitiv funktion till -1 är ju -x så då borde e^-x vara i nämnaren.

Smaragdalena skrev:

$y'-y=0$ Skriv om det till $y'=y$. Visst har du lärt dig lösa sådana diffekvationer? Vad är det för ekvation som är lika med sin egen derivata?

 Tack, jag har hört om detta i samband med populationsdynamik inte noterat hur man löser själva diff ekvationerna. Ser enkelt ut.

Hur får jag bort - från e^-x så jag skriva det som i facit?

Hej!

Din differentialekvation $y'(x) = y(x)-x$ är samma sak som ekvationen

    $y'(x)-y(x) = -x.$

Multiplicera ekvationens båda led med den integrerande faktorn $e^{-x}$ för att få ekvationen

    $e^{-x}y'(x)-e^{-x}y(x)=-xe^{-x}$

som du också kan skriva som

    $(e^{-x}y(x))' = -xe^{-x}\iff e^{-x}y(x) = C - \int xe^{-x}\,dx.$

Med partiell integration kan integralen bestämmas.

   $\displaystyle\int xe^{-x}\,dx = -xe^{-x}+\int e^{-x}\,dx = -xe^{-x}-e^{-x} = -e^{-x}(1+x)$

vilket ger lösningarna till din differentialekvation.

    $y(x) = Ce^{x}+1+x.$

Kontrollera att funktionerna $y(x) = Ce^{x}+1+x$ uppfyller din differentialekvation.

    $y'(x) = Ce^{x}+1$ och $y(x)-x = Ce^{x}+1+x-x = Ce^{x}+1.$

Beräkningarna visar att derivatan $y'(x)$ är lika med funktionen $y(x)-x.$

det är bara sista steg jag inte förstår, annars gjorde jag ju samma. Varför Ce^x och inte C/e^-x

Elias93 skrev:

det är bara sista steg jag inte förstår, annars gjorde jag ju samma. Varför Ce^x och inte C/e^-x

Det är ju samma sak. $a^{-b}=\frac{1}{a^b}$.

ah ok jag är van att göra det åt andra hållet. Tack för hjälpen