Lös komplex andragradsekvation

Låt $z=a+bi$ och sätt in. Se var du kommer då.

ok,

$$\begin{gathered} z=a+bi \\ {(a+bi)}^2=5+12i \\ {a}^2-b^2+2abi=5+12i \\ \left\{\begin{array}{l}{a}^2-b^2=5 \left(1\right)\\ 2ab=12 \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em} \left(2\right)\\ absolutbelopp ger a^2+b^2=169 \left(3\right)\\ \end{array}\right. \\ Addition av \left(1\right) och \left(3\right) ger \\ 2a^2=174 \\ {a}^2=87 \\ {b}^2=82 \\ \left(2\right) ger lösningarna \\ \left\{\begin{array}{l}a=\sqrt{87}\\ b=\sqrt{82}\\ \end{array}\right. \\ Samt: \\ \left\{\begin{array}{l}a=-\sqrt{87}\\ b=-\sqrt{82}\end{array}\right. \\ Något har gått snett då ab\approx 84 vilket är större än vad det borde \\ vara enligt \left(2\right). Vad har gått fel? \end{gathered}$$

Skriv 5+12i polärt så är det lätt att hitta z.

Jag tycker din ansats är OK!

Använd den fortsättningsvis, enligt mitt mycket kortfattade tips:

Laguna skrev:

Skriv 5+12i polärt så är det lätt att hitta z.

Svårt att skriva det polärt då det är svårt att få fram vinkeln.

dr_lund skrev:

Jag tycker din ansats är OK!

Använd den fortsättningsvis, enligt mitt mycket kortfattade tips:

Var fick du $b^4+5b^2-36$ifrån?

Dualitetsförhållandet skrev:

Laguna skrev:

Skriv 5+12i polärt så är det lätt att hitta z.

Svårt att skriva det polärt då det är svårt att få fram vinkeln.

Ja, det kan du ha rätt i.

När jag försöker skriva det på polär form får jag cos($\varnothing$)=5/13

och sin($\varnothing )$=12/13

Svårt att räkna ut utan räknare vad vinkeln är då

Ett fel är att sambandet $a^2+b^2=169$ (din ekvation 3) inte stämmer.

$a^2+b^2$ är ju $|z|$, inte $|z^2|$.

Dualitetsförhållandet skrev:

Var fick du $b^4+5b^2-36$ifrån?

Sätt in $a=\frac{6}{b}$ i ekvationen $a^2-b^2=5$ och multiplicera med $b^2$

z² = 5 +12i

Om du beräknar absolutbeloppet av HL blir det $\sqrt{25+144}=13$

Vilket alltså är absolutbeloppet av z²

z har därför absolutbeloppet $\sqrt{13}$

Därför blir $a^2+b^2 = 13$

och om du då lägger ihop ekv 1 och 3 (med rätt värden) från ditt inlägg får du

2a² = 18 => a= +-3

Att utnyttja metoden med absolutbeloppet underlätter räknandet, men det är väldigt lätt att gå vilse i kvadraterna, här krävs eftertanke varje gång!

Tack, löste den nu

z=3+2i eller z=-3-2i