Lös integralen

Tydligare bild

Bryt ut 1/2 från integralen, så har du bara 1/x kvar som har prim.fkn. ln(x).

hur menar du med att jag ska bryta ut? alltså $\frac{1}{2}\times \left(\frac{1}{x}\right)$

Tillägg: 29 apr 2022 20:24

Är det inte det jag har gjort?

Kunskap=Nyckel skrev:

hur menar du med att jag ska bryta ut? alltså $\frac{1}{2}\times \left(\frac{1}{x}\right)$

---

Tillägg: 29 apr 2022 20:24

Är det inte det jag har gjort?

Nej, du har räknat som om integranden var 1/x + 1/2men  ½ är ju en konstant som är multiplicerad med 1/x.Set skall alltså inte bli något extra x när du integrerar.

Man kan skriva om det till 2x^-1 o h primitiva funktion blir då 2x⁰/0=2/0 eller?

Eller 1/2 × 1/x   ger 0,5/x = 0.5x^-1 . F(x)=0,5×x^-0/-1

Tillägg: 30 apr 2022 02:07

X⁰=1

Nej det stämmer inte.

Du bör alltid alltid kontrollera ditt förslag på primitiv funktion genom att derivera det och se om du då får tillbaka ursprungsfunktionen:

Eftersom x⁰ är lika med 1, dvs en konstant, så är derivatan av x⁰ lika med derivatan av 1, vilket är lika med 0.

Eftersom 0 inte är lika ned 1/x så kan inte x⁰ vara en primitiv funktion till 1/x.

==========

Titta istället i din formelsamling.

Där står det att de primitiva funktionerna till 1/x är ln|x|+C.

Så det primitiva funktionen av 1/2x blir bara lnx.  1/2 ignorerar man vid primitiv funktion eftersom att det är en konstant?

Tillägg: 30 apr 2022 15:33

Jag förstår att primitiv funktion av 1/x är ln x eftersom att det står på formelboken som Yngve nämnde, men jag förstår inte vad som görs med 1/2.  Så här ser jag det:

1/2x  kan skrivas om till $\frac{1}{2}\times \frac{1}{x}$och här blir 1/x till lnx som primitiv funktion.  då får vi 1/2 multiplicerat med lnx.  Nu tänker jag vad blir primitiv funktion av 1/2. Ska då  1/2 raderas vid primitiv funktion och sedan har man bara ln x kvar?

Jämför t.ex. med funktionen 3x, dvs 3•x.

Kan du säga vad en primitiv funktion till 3x är?

3x²/2

Tillägg: 30 apr 2022 15:54

jag ökar exponenten med 1 och delar hela basen med exponentens nya tal vilket är 2

Gör precis likadant med $\frac{1}{2}\frac{1}{x}$, som också är en konstant multiplicerad med en funktion av x.

Hade det stått 1/2 multiplicerat med x så hade jag skrivit F(x)= (0,5x²)/2. Men eftersom 1/x blir lnx så får jag inte en uppfattning på hur konstanten påverkas. Lnx har en exponent på 1 kanske och blir då det hela (1/2 × lnx² )/ 2.  Vilket ger 1/4lnx². Detta känns fel även om jag kör samma metod som 3x (yngve).  

Tillägg: 1 maj 2022 00:08

Jag har förstått att svaret är lnx men vet inte riktigt hur jag kommer dit när 1/x blir lnx. 

Tillägg: 1 maj 2022 00:27

Och att jag har konstanten 1/2

Du gör på samma sätt som med alla andra primitiva funktioner. Konstanta faktorer påverkas inte av derivering. Alltså påverkas de inte heller av antiderivering ("integrering").

Generellt gäller att om F(x) är en primitiv funktion till f(x) och k är en konstant så är k•F(x) en primitiv funktion till k•f(x). Detta eftersom derivatan av k•F(x) är lika med k•f(x).

I ditt fall är f(x) = 1/x, F(x) = ln|x| och k = 1/2.

Alltså är en primitiv funktion till (1/2)•(1/x) helt enkelt (1/2)•ln|x|.

==========

Det är viktigt att du tar som vana att alltid kontrollera ditt förslag på primitiv funktion genom att derivera det. Om du då får tillbaka ursprungsfunktionen så är din primitiva funktion rätt, annars inte.

Tack, jag förstår  bättre nu

Jag får det fortfarande till samma svar att det blir 0,5 a.e även när det primitiva funktionen blev annorlunda. Kan det stämma?

Tillägg: 1 maj 2022 15:59

Så fick jag det

Ja det stämmer. Men din första uträkning stämde inte (det gäller inte att ln(x)*x/2 är lika med ln(x²)/2)