Lös fullständigt ekvationen sin² (x/2) = (1/2) - (1/2) sin x/2

Hur menar du med

Juliaanvändare skrev:

Ska jag börja med att sätta in 1/2 = $\mathrm{\pi }$/6

? :)

Jag skulle föreslå att du gör ett byte av obekant, och sätter $t=\sin\left(\frac x2\right)$. Då får du en andragradsekvation som du kan lösa. Sedan kan du hitta vilka värden på x som fungerar, med hjälp av dina värden på t. :)

Ingen aning fick för mig att jag skulle sätta in funktionsvärdet av 1/2.. lite trött i huvudet haha..

Okej, så:
$t^2$ = (1/2) - (1/2) *t? 

0= - $t^2$ + (1/2) * (-1/2) * t

Juliaanvändare skrev:

$t^2$ = (1/2) - (1/2) *t? 

Ja, det stämmer

0= - $t^2$ + (1/2) * (-1/2) * t

Nej, nu har du råkat få in ett multiplikationstecken som inte ska vara där, innan sista termen.

==== Gör istället så här ====

Ekvationen är $t^2=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}t$

Enklast nu är att låta $t^2$ stå kvar på vänster sida och istället addera $\frac{1}{2}t$ till och subtrahera $\frac{1}{2}$ från bägge sidor, vilket ger dig

$t^2+\frac{1}{2}t-\frac{1}{2}=0$

Kommer du vidare därifrån?

Försöker räkna hur det blir t2+1/2t−1/2=0 efter att man adderat 1/2t och subtraherat 1/2 från både VL och HL men får inte till det riktigt.. 

Vad händer mellan rad ett och två? Du stryker koefficienten 1/2 framför t. Det stämmer inte riktigt. Du börjar rätt – addera 1/2 * t till båda led: 

$$\begin{gathered} t^2=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}t \\ {t}^2+\frac{1}{2}t=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}t+\frac{1}{2}t \\ {t}^2+\frac{1}{2}t=\frac{1}{2}-\cancel{\overline{)\frac{1}{2}t+\frac{1}{2}t}} \\ {t}^2+\frac{1}{2}t=\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Subtrahera sedan 1/2 från båda led: 

$$\begin{gathered} t^2+\frac{1}{2}t-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \\ {t}^2+\frac{1}{2}t-\frac{1}{2}=\cancel{\overline{)\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}} \\ {t}^2+\frac{1}{2}t-\frac{1}{2}=0 \end{gathered}$$

Färdigt!

Tack så mycket! 

x= -(1/2t)/2 $\pm$ $\sqrt{(1/2)^2/2+1/2}$ 
x = -(0,5t/2)± $\sqrt{(0,5)^2/2 + 0,5}$
x = -0,25t ±$\sqrt{0,25^2 + 0,5}$

x = -0,25 ± $\sqrt{0,5625}$
x = -0,25 ± 0,75

$x_1$ = 0,5
$x_2$ = -1

$x_1$ = ${\sin }^{-1}$(0,5)$\approx$0,524 
$x_2$ = ${\sin }^{-1}$(-1) ≈ -1,571

$x_1$ = $\mathrm{\pi }$ - 0,524 + n * 2π 
$x_2$ = π - (-1,571) + n * 2π 

Du använder pq-formeln fel. Det ska inte vara något t i högerledet i lösningen.

Om $x^2+px+q = 0$ så är $x=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}$. Inget $x$ i högerledet alltså.

Redigerade mitt förra inlägg och tog bort t i HL och skrev till ekvations lösningarna i radianer. Hur ser det ut?

Juliaanvändare skrev:

Redigerade mitt förra inlägg och tog bort t i HL och skrev till ekvations lösningarna i radianer. Hur ser det ut?

I fortsättningen, om du vill rätta eller lägga till något, skriv ett nytt inlägg, eller tydliggör vad som är nytt i förstainlägget (exempelvis genom att skriva "EDIT: [ny/korrekt information]"). Annars blir det svårt att förstå vad som hänt i tråden. /Smutstvätt, moderator 

Ja okej, absolut! 

$x_1$ = ${\sin }^{-1}$(0,5)≈0,524 
$x_2$ = ${\sin }^{-1}$(-1) ≈ -1,571

$x_1$ = π - 0,524 + n * 2π 
$x_2$= π - (-1,571) + n * 2π 

Korrekt?

Nej det stämmer inte.

Du ska lösa ekvationerna sin(x/2) = -1 respektive sin(x/2) = 0,5 och du ska svara exakt, inte med närmevärden.

Du vet väl att du alltid kan och bör kontrollera dina ekvationslösningar? Det är bra att träna på det inför provsituationer.

sin(x/2) = -1
x/2 = 4,7 + n * 2π
x = 9,4 + n *4π

sin(x/2) = 0,5 
x/2 = π/6 + n *2π
x ≈  1,047 + n * 4π

sin(x/2) = 0,5 
x/2= π5/6 + n * 2π

x ≈ 2,62 + n *4π

Gör jag rätt? Är helt förvirrad nu... sin -1 är ju 270$°$? ska jag omvandla det till radianer som jag gjort ovan? Eller hur ska jag göra?

Ja, du tänker rätt, men du ska inte avrunda värdena.

Ekvationen sin(x/2) = -1 har lösningarna x/2 = 3pi/2+n•2pi, dvs x = 3pi+n•4pi.

Ekvationen sin(x/2) = 0,5 har lösningarna x/2 = pi/6+n•2pi och x/2 = 5pi/6+n•2pi, dvs x = pi/3+n•4pi och x = 5pi/3+n•4pi 

Aha, nuså hänger jag med. Tack för hjälpen!