Lös faltningsekvationen

Uppgift 6.11
Anvisning till uppgiften är: "Multiplicera med θ(t) och uppfatta integralen som en faltning.

Jag fick det till att Y + YH = F
Y = L(θy) = F/(1+H)
= (1/s)/(1+(1/(s+1))
= (s+1)/s(s+2)
Och sen fortsätta med att räkna ut inversa laplacetransformen, men kommer inte fram till rätt svar. Rätt svar är y=1/2(1+e^(-2t))

Någon som kan hjälpa mig med om jag gjort något fel fram till det som står ovan?

Hej!

Ekvationen kan skrivas

$y(t) + \int_{-\infty}^{\infty}e^{-(t-\tau)}y(\tau)\mathbf{1}_{[0,t]}(\tau)\,\text{d}\tau\ ,$

där indikatorfunktionen $\mathbf{1}_{[0,t]} = 1$ om $0 < \tau < 1$ och lika med $0$ annars. Denna kan uttryckas med hjälp av Heavisides stegfunktion ( $\theta$ ) som

$\mathbf{1}_{[0,t]}(\tau) = \theta(t-\tau) \cdot \theta(\tau)\ .$

Detta gör att ekvationen kan skrivas explicit som en faltningsekvation

$y(t) + (g*h)(t) = 1$

där $g(t) = e^{-t}\theta(t)$ och $h(t) = y(t)\theta(t)\ .$ Laplacetransformering ger den motsvarande ekvationen

$Y(s) + G(s)H(s) = \frac{1}{s}$

där $G(s) = T(s+1) = \frac{1}{s+1}$ där $T$ betecknar Laplacetransformen av $\theta$ och $H(s) = Y(s)$ , eftersom det är den ensidiga Laplacetransformen som används.

$Y(s) + \frac{Y(s)}{s+1} = \frac{1}{s}\ .$

Partialbråksuppdelning ger

$Y(s) = \frac{0.5}{s} + \frac{0.5}{s+2}$

med vars hjälp du lätt finner lösningen till faltningsekvationen.

Albiki

Tack så mycket!

Svara