lös en ekvation (Matematik/Matte 4)

Jag tycker att WolframAlphas svar kan leda en på villovägar ibland. Själv skulle jag skriva om så här:

$z^3=8(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)$

Sedan kan man omvandla till polär form och lösa med de Moivres formel.

AlvinB skrev:
Jag tycker att WolframAlphas svar kan leda en på villovägar ibland. Själv skulle jag skriva om så här:
$z^3=8(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)$
Sedan kan man omvandla till polär form och lösa med de Moivres formel.

kan du vägleda mig med ditt sätt?

Om man gör min omskrivning kan man känna igen $\frac{1}{2}$ och $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ som cosinus- och sinusvärdena för vinkeln $-30^{\circ}$ . Detta gör att vi kan skriva ekvationen på polär form så här:

$z^3=8(\cos(-30^{\circ})+i\sin(-30^{\circ}))$

Nu är vi ute efter $z$ . Eftersom de Moivres formel säger att vi ska multiplicera argumentet (vinkeln) med exponenten när man höjer upp till ett tal kan vi göra tvärt om och dividera argumentet om vi vill få fram $z$ utifrån $z^3$ . Kom ihåg att du får flera lösningar p.g.a. periodiciteten hos sinus och cosinus.

AlvinB skrev:
Om man gör min omskrivning kan man känna igen $\frac{1}{2}$ och $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ som cosinus- och sinusvärdena för vinkeln $-30^{\circ}$ . Detta gör att vi kan skriva ekvationen på polär form så här:
$z^3=8(\cos(-30^{\circ})+i\sin(-30^{\circ}))$
Nu är vi ute efter $z$ . Eftersom de Moivres formel säger att vi ska multiplicera argumentet (vinkeln) med exponenten när man höjer upp till ett tal kan vi göra tvärt om och dividera argumentet om vi vill få fram $z$ utifrån $z^3$ . Kom ihåg att du får flera lösningar p.g.a. periodiciteten hos sinus och cosinus.

när jag försöker lösa den på miniräknaren får jag error, vad kan det bero på?

Troligen är miniräknaren inte gjord för att hantera komplexa tal. Du kanske ska se det som ett tecken att försöka själv istället för att låta miniräknaren göra jobbet. :-)

Hur går det när du försöker? Vad får du om du försöker applicera de Moivres formel baklänges?

AlvinB skrev:
Troligen är miniräknaren inte gjord för att hantera komplexa tal. Du kanske ska se det som ett tecken att försöka själv istället för att låta miniräknaren göra jobbet. :-)
Hur går det när du försöker? Vad får du om du försöker applicera de Moivres formel baklänges?

när du väl säger dividera argumentet menar du väll -30grader? och den skall man dividera med exponenten när man höjer upp till ett tal...

$z^{3 / - 30} = 8 (\cos (- 30 °) + i \sin (- 30 °)$

så?

Nja. Inte riktigt. Det är ju argumentet $-30^{\circ}$ du ska dela med $3$ . Det du får då blir argumentet till svaret. Sedan får du dra tredje roten ur $8$ så får du absolutbeloppet till $z$ .

AlvinB skrev:
Nja. Inte riktigt. Det är ju argumentet $-30^{\circ}$ du ska dela med $3$ . Det du får då blir argumentet till svaret. Sedan får du dra tredje roten ur $8$ så får du absolutbeloppet till $z$ .

$z^{3} = 8 (\cos (- 30 / 3) + i \sin (- 30 / 3) s å ?$

Jag insåg just att jag klantat mig litegrann. Överallt där jag skrev $30^{\circ}$ ska det vara $60^{\circ}$ .

Så här blir det ju:

$z=\sqrt[3]{8}(\cos(-\frac{60^{\circ}}{3})+i\sin(-\frac{60^{\circ}}{3}))=2(\cos(-20^{\circ})+i\sin(-20^{\circ}))$

Detta är en av lösningarna, men det finns fler. Försök använda periodiciteten hos sinus och cosinus för att hitta de övriga lösningarna.

AlvinB skrev:
Jag insåg just att jag klantat mig litegrann. Överallt där jag skrev $30^{\circ}$ ska det vara $60^{\circ}$ .
Så här blir det ju:
$z=\sqrt[3]{8}(\cos(-\frac{60^{\circ}}{3})+i\sin(-\frac{60^{\circ}}{3}))=2(\cos(-20^{\circ})+i\sin(-20^{\circ}))$
Detta är en av lösningarna, men det finns fler. Försök använda periodiciteten hos sinus och cosinus för att hitta de övriga lösningarna.

kan du hjälpa mig med det? för hur många lösningar finns det egentligen? min hjärna har stannat

Om din hjärna har stannat, är det ganska respektlöst av dig att tro att vi skall göra dina uppgifter åt dig. Gå och gör något annat tills din hjärna har vaknat igen. Meningen med Pluggakuten är att du skall få den hjälp du behöver för att kunna lösa dina uppgifter själv, inte att någon annan skall servera dig färdiga lösningar på dina problem.

Smaragdalena skrev:
Om din hjärna har stannat, är det ganska respektlöst av dig att tro att vi skall göra dina uppgifter åt dig. Gå och gör något annat tills din hjärna har vaknat igen. Meningen med Pluggakuten är att du skall få den hjälp du behöver för att kunna lösa dina uppgifter själv, inte att någon annan skall servera dig färdiga lösningar på dina problem.

förlåt om ni uppfattade det på ett sådant vis, menade inte alls att jag ville att ni skulle göra det, utan det var till följd av att jag ställde frågan "hur många lösningar finns det egentligen?"

En tredjegradsekvation har tre lösningar (ibland kan två eller flera lösningar vara identiska - dubbelrötter o s v ).

Smaragdalena skrev:
En tredjegradsekvation har tre lösningar (ibland kan två eller flera lösningar vara identiska - dubbelrötter o s v ).

vet inte hur jag skall lösa denna, varje gång jag skriver in och räknar får jag det till $2 (\cos (- 20) + i \sin (- 20))$ och det har vi redan räknat ut tidigare

Alla ekvationer av typen $z^n=a+bi$ har n stycken lösningar som ligger på en cirkel runt origo. Om du har en lösning, ligger de andra läsningarna på samma avstånd från origo med vinkeln $2 \pi /n$ mellan varje. I ditt fall blir det alltså $2 \pi /3$ mellan varje, eller 120 grader, om du föredrar det.

$\sqrt{8} (\cos (- 120) + i \sin (- 120)$ så?

vilket blir $z = - \sqrt{2} - \sqrt{6} i$

kan det stämma?

Nej. Du har en lösning med absolutbeloppet 2 och argumentet -20 grader. De andra lösningarna har samma absolutbelopp men argumenten 100 respektive 220 grader.

Smaragdalena skrev:
Nej. Du har en lösning med absolutbeloppet 2 och argumentet -20 grader. De andra lösningarna har samma absolutbelopp men argumenten 100 respektive 220 grader.

men du sa ju 120 innan, så jag utgick ifrån det?

$s å 2 (\cos (- 100) + i \sin (- 100) o c h 2 (\cos (- 220) + i \sin (- 220) d e s s a ?$

Jag skrev att det skall vara 120 grader mellan varje lösning.

$2 (\cos (- 100) + i \sin (- 100) o c h 2 (\cos (- 220) + i \sin (- 220)$

den första ger $z = 2 \cos (- \frac{5 π}{9}) + i \sin (- \frac{5 π}{9})$ är det rätt så som jag tänker eller är det inte värt att fortsätta med den andra då det är fel?

känns som att jag är ute och cyklar..

den första ger $z = 2 \cos (- \frac{5 π}{9}) + i \sin (- \frac{5 π}{9})$ är det rätt så som jag tänker eller är det inte värt att fortsätta med den andra då det är fel?

och den andra ger och z= $2 \cos (- \frac{11 π}{9}) + 2 i \sin (- \frac{11 π}{9})$

rätt så?

så alltså här har vi kommit fram till att ekvationen har 3 lösningar:

$z 1 = 2 (\cos (- 20) + i \sin (- 20)) z 2 = 2 (\cos (- \frac{5 π}{9}) + i \sin (- \frac{5 π}{9})) z 3 = 2 (\cos (- \frac{11 π}{9}) + 2 i \sin (- \frac{11 π}{9})$

har jag tänkt rätt så?

Gör om den första lösningen så att den också är i radianer, så blir det bra.

Smaragdalena skrev:
Gör om den första lösningen så att den också är i radianer, så blir det bra.

$2 (\cos (- \frac{π}{9}) + 2 i \sin (- \frac{π}{9}))$