Lös ekvationssystem

Uppgift: Låt $A = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})$ och vidare $X = (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})$ och $B = (\begin{matrix} e \\ f \end{matrix})$ . Anta att $a d - b c \neq 0$ . Lös med Gauss-Jordan-elimination ekvationssystemet $A X = B$ , och visa det finns en unik lösning.

Mitt försök: $A X = (\begin{matrix} a x + b y \\ c x + d y \end{matrix}) A X = (\begin{matrix} a x + b y & e \\ c x + d y & f \end{matrix})$

Kommer inte vidare, tips?

Använd Gauss jordan elimination som det står i uppgiften. Det ska inte finnas några X och Y i matrisen

AX=B

$(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} e \\ f \end{matrix}) ⋮ a x + b y = e (1) c x + d y = f (2) ⋮ (3) = a (2) - c (1) a c x + a d y = a f - a c x + b c y = c e 0 + (a d - b c) y = a f - c e ⋮ a x + b y = e (1) (a d - b c) y = a f - c e (3)$

ad-bc $\neq$ 0 enligt uppgiften. (3) ger nu

$y = \frac{a f - c e}{a d - b c} å t e r s u b s t i t u t i o n a x + b y = e a x + b \frac{a f - c e}{a d - b c} = e a x = \frac{e (a d - b c)}{(a d - b c)} - b \frac{a f - c e}{a d - b c} = \frac{e (a d - b c) - b (a f - c e)}{(a d - b c)} x = \frac{e (a d - b c) - b (a f - c e)}{a (a d - b c)} = \frac{a d e - b c e - a b f + b c e}{a (a d - b c)} = \frac{a (d e - b f)}{a (a d - b c)} = \frac{(d e - b f)}{(a d - b c)}$

Den unika lösningen ges alltså av

$(x, y) = [\frac{d e - b f}{a d - b c}, \frac{a f - c e}{a d - b c}]$

som alltid är definierad givet ad-bc /= 0. Detta är analogt med att en unik lösning alltid existerar.

Vi kan också resonera i termer av baser. ad-bc /= 0 vilket medför att (a,c) och (b,d) utgör en bas i R2. För givna (a,c) och (b,d) så finns det därmed en och endast 1 lösning till AX=B för varje B.

Svara