Lös ekvationerna och svara i polär form

Jag skulle göra så här:

Vi utgår från $z^3-8=0$ och ser direkt att $z_1=2$ är en rot. Således kan vi faktorisera ut $(z-2)$ enligt faktorsatsen och erhåller då:

$(z-2)(z^2+2z+4)=0$

Vi löser andragradaren på lämpligt sätt och erhåller:

$z_{2,3} = -1\pm i\sqrt 3$

Sedan skriver vi om dessa tal på polär form. 

Jag vet inte om jag tänker fel nu, men sättet du försöker lösa ekvationen på genom att "matcha" termer kommer bli ganska jobbigt. Du skulle ju kunna komma hit:

$\displaystyle r^3(\cos 3x+i\sin 3x)=8(\cos0+i\sin 0)$

Men nu är det tyvärr inte bara att sätta $3x=0$. Du måste lösa en trigonometrisk ekvation istället, alltså:

$\displaystyle \cos 3x=1$ samt $\displaystyle \sin 3x = 0$.

De tre talen kommer ligga på randen till en cirkel med medelpunkt i origo och radien 2. 

Hänger du med? :)

karisma skrev:

Hej!

Jag håller på med uppgifterna nedan, och är just nu på a). Nedan kan ni se hur långt jag har kommit i min uträkning. Jag vet inte riktigt hur jag ska gå vidare härifrån och hade uppskattat hjälp! Det jag vill är att få fram vad v är, men jag vet inte riktigt hur.

Tack på förhand!

z³ = 8 har argumentet 0 och beloppet 8

Man ska ha med periodiciteten i de trig uttrycken, så här

z³ = 8(cos(0+2npi) + isin(0+2npi))

sen drar vi tredjeroten ur bägge led

(då drar vi tredjeroten ur beloppet och delar argumentet med 3 )

z = 2(cos(2npi/3)+isin(2npi/3)) där n = 0, 1 eller 2

z₁ = 2

z₂ = 2(cos(2pi/3)+isin(2pi/3))

z₃ = 2(cos(4pi/3)+isin(4pi/3))

Hur kom du fram till att z³ = 8 har argumentet 0? 

Det är talet $8$ som har argumentet $0$ på polär form:

$\displaystyle 8=8(\cos 0 + i\sin 0)$

För att komma till talet $8$ i det komplexa talplanet behövs ingen vridning.

karisma skrev:

Hur kom du fram till att z³ = 8 har argumentet 0? 

Alla positiva reella tal har argumentet 0

Ture skrev:

karisma skrev:

Hur kom du fram till att z³ = 8 har argumentet 0? 

Alla positiva reella tal har argumentet 0

Jaha, okej då förstår jag! Vilka argument har de negativa reella talen? Är det 180°, dvs pi radianer, då? Och vad för argument har de Im talen?

Imaginära tal har argumenten $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ eller $\displaystyle  \frac{2\pi}{3}$ och de negativa reella talen har mycket riktigt vinkeln $\pi$ radianer. Tänk på hur det komplexa talplanet ser ut!

naytte skrev:

Imaginära tal har argumenten $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ eller $\displaystyle  \frac{2\pi}{3}$ och de negativa reella talen har mycket riktigt vinkeln $\pi$ radianer. Tänk på hur det komplexa talplanet ser ut!

Borde inte de imaginära talen också ha argumentet 3pi/2?

karisma skrev:

naytte skrev:

Imaginära tal har argumenten $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ eller $\displaystyle  \frac{2\pi}{3}$ och de negativa reella talen har mycket riktigt vinkeln $\pi$ radianer. Tänk på hur det komplexa talplanet ser ut!

Borde inte de imaginära talen också ha argumentet 3pi/2?

Det stämmer, 2pi/3 var förmodligen feltryck av Naytte

Calle_K skrev:

karisma skrev:

Visa föregående citat

naytte skrev:

Imaginära tal har argumenten $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ eller $\displaystyle  \frac{2\pi}{3}$ och de negativa reella talen har mycket riktigt vinkeln $\pi$ radianer. Tänk på hur det komplexa talplanet ser ut!

Borde inte de imaginära talen också ha argumentet 3pi/2?

Det stämmer, 2pi/3 var förmodligen feltryck av Naytte

Okej, då är jag med på banan! Tack för hjälpen båda två!

naytte skrev:

Jag skulle göra så här:

Vi utgår från $z^3-8=0$ och ser direkt att $z_1=2$ är en rot. Således kan vi faktorisera ut $(z-2)$ enligt faktorsatsen och erhåller då:

$(z-2)(z^2+2z+4)=0$

Vi löser andragradaren på lämpligt sätt och erhåller:

$z_{2,3} = -1\pm i\sqrt 3$

Sedan skriver vi om dessa tal på polär form. 

---

Jag vet inte om jag tänker fel nu, men sättet du försöker lösa ekvationen på genom att "matcha" termer kommer bli ganska jobbigt. Du skulle ju kunna komma hit:

$\displaystyle r^3(\cos 3x+i\sin 3x)=8(\cos0+i\sin 0)$

Men nu är det tyvärr inte bara att sätta $3x=0$. Du måste lösa en trigonometrisk ekvation istället, alltså:

$\displaystyle \cos 3x=1$ samt $\displaystyle \sin 3x = 0$.

De tre talen kommer ligga på randen till en cirkel med medelpunkt i origo och radien 2. 

Hänger du med? :)

Nämen oj! Hade missat att du också gav ett lösningsförslag! Tack! Jag tyckte ditt sätt att lösa den också var väldigt enkelt att hänga med på (:

En fråga bara kring din lösning naytte, blir inte r värdet då roten ur 10 när man omvandlar till polär form? Och det skulle väll bli 2?

Det stämmer, 2pi/3 var förmodligen feltryck av Naytte

Precis det det var! Ursäkta för felskrivningen!

En fråga bara kring din lösning naytte, blir inte r värdet då roten ur 10 när man omvandlar till polär form? Och det skulle väll bli 2?

Nu förstår jag inte riktigt vad du menar. Kan du förklara lite mer ingående?

z³ = 8(cos(0+2npi) + isin(0+2npi))

@Ture, visst är anledningen till att bara behöver testa upp till $n=2$ att alla lösningar (maximalt tre) ligger på samma cirkel?

naytte skrev:

Det stämmer, 2pi/3 var förmodligen feltryck av Naytte

Precis det det var! Ursäkta för felskrivningen!

En fråga bara kring din lösning naytte, blir inte r värdet då roten ur 10 när man omvandlar till polär form? Och det skulle väll bli 2?

Nu förstår jag inte riktigt vad du menar. Kan du förklara lite mer ingående?

Du skrev att z_2,3 = -1 (+/-) i*(roten ur 3). Om jag omvandlar det till polär form så behöver jag först ta fram r-värdet genom att ta (-)3² + -1² och sedan roten ur det som blir roten ur 10. Men r ska ju bli 2.

z³ = 8(cos(0+2npi) + isin(0+2npi))

@Ture, visst är anledningen till att bara behöver testa upp till $n=2$ att alla lösningar (maximalt tre) ligger på samma cirkel?

Om jag omvandlar det till polär form så behöver jag först ta fram r-värdet genom att ta (-)3² + -1² och sedan roten ur det som blir roten ur 10.

Det står ju $\sqrt 3$, inte $3$!

Jag hade förresten också behövt hjälp med uppgift b) i samma fråga, och har påbörjat en lösning. Tycker du/ni jag ska skapa ett nytt inlägg eller fortsätta här (i och med att det tillhör samma uppgift)?

naytte skrev:

Om jag omvandlar det till polär form så behöver jag först ta fram r-värdet genom att ta (-)3² + -1² och sedan roten ur det som blir roten ur 10.

Det står ju $\sqrt 3$, inte $3$!

Oj, börjar kanske bli trött nu hahah

Jag tycker du borde skapa en ny tråd för att inte röra till den här allför mycket!

naytte skrev:

Jag tycker du borde skapa en ny tråd för att inte röra till den här allför mycket!

Okej, jag gör det!