lös ekvationerna enhetscirkeln (Matematik/Matte 3/Trigonometri)

Titta i en tabell för värden på sinus och cosinus! Hittar du några vinklar som motsvarar cosinusvärdet 1/2, eller sinusvärdet 1/kvadratroten ur 2?

Smutstvätt skrev :
Titta i en tabell för värden på sinus och cosinus! Hittar du några vinklar som motsvarar cosinusvärdet 1/2, eller sinusvärdet 1/kvadratroten ur 2?

ja det gör jag , cos60grader och sin45grader? går det att lösa utan att kolla på en tabell? förstår hur det blir 1/2 och 1/roten ur 2 men inte om jag utgår från de och ska gå till grader.

Lär dig använda "en halv kvadrat" och "en halv liksidig triangel" så har du sinus- och cosinusvärdena för 45, 30 och 60 grader klara.

a) cos(v)=1/2 dvs 1/2 på x-axeln
b) sin(v)=1/ $\sqrt{2}$ dvs 1/ $\sqrt{2}$ på y-axeln ( 1/ $\sqrt{2}$ = $\sqrt{2}$ /2 )

larsolof skrev :
a) cos(v)=1/2 dvs 1/2 på x-axeln
b) sin(v)=1/ $\sqrt{2}$ dvs 1/ $\sqrt{2}$ på y-axeln ( 1/ $\sqrt{2}$ = $\sqrt{2}$ /2 )

a) 45grader och 135grader? b) -60grader och 60grader?

Du svarar a) 45grader och 135grader? b) -60grader och 60grader?
Alla fyra svaren är fel

Men hade du svarat tvärtom, alltså : a) -60grader och 60grader b) 45grader och 135grader
så hade alla fyra varit rätt.

Så jag tror du bara har förväxlat a) och b). Är det så?

Röd pricklinje: a) -60grader och 60grader x=1/2 dvs cos blir 1/2
Grön pricklinje: b) 45grader och 135grader y= $\frac{1}{\sqrt{2}}$ dvs sin blir $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

lamayo skrev :
larsolof skrev :
a) cos(v)=1/2 dvs 1/2 på x-axeln
b) sin(v)=1/ $\sqrt{2}$ dvs 1/ $\sqrt{2}$ på y-axeln ( 1/ $\sqrt{2}$ = $\sqrt{2}$ /2 )
...
a) 45grader och 135grader? b) -60grader och 60grader?

Nej du blandar ihop a- och b-uppgiften.

Du har 3 möjliga val här:

Lär dig alla exakta värden utantill.
Förlita dig på att du alltid har tillgång till en formelsamling eller enhetscirkel med vinklar och exakta värden utsatta enligt ovan.
Lär dig hur du snabbt och enkelt kan ta reda på dessa exakta värden själv med hjälp av en halv liksidig triangel, en halv kvadrat och definitionerna av sinus, cosinus och tangens.

För min egen del går jag på linje 3 eftersom jag är dålig på att lära mig saker utantill.

Yngve skrev :
lamayo skrev :
larsolof skrev :
a) cos(v)=1/2 dvs 1/2 på x-axeln
b) sin(v)=1/ $\sqrt{2}$ dvs 1/ $\sqrt{2}$ på y-axeln ( 1/ $\sqrt{2}$ = $\sqrt{2}$ /2 )
...
a) 45grader och 135grader? b) -60grader och 60grader?
Nej du blandar ihop a- och b-uppgiften.
Du har 3 möjliga val här:
Lär dig alla exakta värden utantill.
Förlita dig på att du alltid har tillgång till en formelsamling eller enhetscirkel med vinklar och exakta värden utsatta enligt ovan.
Lär dig hur du snabbt och enkelt kan ta reda på dessa exakta värden själv med hjälp av en halv liksidig triangel, en halv kvadrat och definitionerna av sinus, cosinus och tangens.
För min egen del går jag på linje 3 eftersom jag är dålig på att lära mig saker utantill.

okej, hur använder jag mig med hjälp av en halv liksidig triangel och en halv kvadrat?

lamayo skrev :
okej, hur använder jag mig med hjälp av en halv liksidig triangel och en halv kvadrat?

Exakta värden på sin(30°), cos(30°), tan(30°), sin(60°), cos(60°) och tan(60°):

Rita en liksidig triangel med sidlängd 1. Alla vinklar i denna triangel är 60°.

Dela nu triangeln med hjälp av en bisektris i två lika stora rätvinkliga trianglar.

Varje sådan rätvinklig triangel har vinklarna 30°, 60° och 90°. Hypotenusans längd är 1, den korta katetens längd är 1/2 och Pythagoras sats ger dig längden på den långa kateten.

Sedan får du enkelt fram de trigonometriska funktionernas exakta värden:

sin(v) = (motstående katet)/hypotenusa
cos(v) = (närliggande katet)/hypotenusa
tan(v) = (motstående katet)/(närliggande katet)

-------

Exakta värden på sin(45°), cos(45°) och tan(45°):

Rita en kvadrat med sidlängd 1. Alla vinklar i denna kvadrat är 90°.

Dela nu kvadraten med hjälp av en duagonal i två lika stora rätvinkliga trianglar.

Varje sådan rätvinklig triangel har vinklarna 45°, 45° och 90°. Kateternas längder är 1 och Pythagoras sats ger dig längden på hypotenusan.

Sedan får du enkelt fram de trigonometriska funktionernas exakta värden:

sin(v) = (motstående katet)/hypotenusa
cos(v) = (närliggande katet)/hypotenusa
tan(v) = (motstående katet)/(närliggande katet)

larsolof skrev :
Du svarar a) 45grader och 135grader? b) -60grader och 60grader?
Alla fyra svaren är fel
Men hade du svarat tvärtom, alltså : a) -60grader och 60grader b) 45grader och 135grader
så hade alla fyra varit rätt.
Så jag tror du bara har förväxlat a) och b). Är det så?
Röd pricklinje: a) -60grader och 60grader x=1/2 dvs cos blir 1/2
Grön pricklinje: b) 45grader och 135grader y= $\frac{1}{\sqrt{2}}$ dvs sin blir $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

det menade jag

Yngve skrev :
lamayo skrev :
okej, hur använder jag mig med hjälp av en halv liksidig triangel och en halv kvadrat?
Exakta värden på sin(30°), cos(30°), tan(30°), sin(60°), cos(60°) och tan(60°):
Rita en liksidig triangel med sidlängd 1. Alla vinklar i denna triangel är 60°.
Dela nu triangeln med hjälp av en bisektris i två lika stora rätvinkliga trianglar.
Varje sådan rätvinklig triangel har vinklarna 30°, 60° och 90°. Hypotenusans längd är 1, den korta katetens längd är 1/2 och Pythagoras sats ger dig längden på den långa kateten.
Sedan får du enkelt fram de trigonometriska funktionernas exakta värden:
sin(v) = (motstående katet)/hypotenusa
cos(v) = (närliggande katet)/hypotenusa
tan(v) = (motstående katet)/(närliggande katet)
-------
Exakta värden på sin(45°), cos(45°) och tan(45°):
Rita en kvadrat med sidlängd 1. Alla vinklar i denna kvadrat är 90°.
Dela nu kvadraten med hjälp av en duagonal i två lika stora rätvinkliga trianglar.
Varje sådan rätvinklig triangel har vinklarna 45°, 45° och 90°. Kateternas längder är 1 och Pythagoras sats ger dig längden på hypotenusan.
Sedan får du enkelt fram de trigonometriska funktionernas exakta värden:
sin(v) = (motstående katet)/hypotenusa
cos(v) = (närliggande katet)/hypotenusa
tan(v) = (motstående katet)/(närliggande katet)

får inte riktigt ihop det, hur vet jag hur stora vinklarna ska vara? om de ska vara 45grader eller 30grader osv?

Om du delar en liksidig triangel i två lika delar blir varje del en triangel med vinklarna 30, 60 och 90 grader.

Om du delar en kvadrat längs ena diagonalen blir vinklarna 45, 45 och 90 grader.

Det tror jag man lär sig redan på grundskolan, i alla fall repeterar man att vinkelsumman i en triangel är 180 grader i Ma2.

Smaragdalena skrev :
Om du delar en liksidig triangel i två lika delar blir varje del en triangel med vinklarna 30, 60 och 90 grader.
Om du delar en kvadrat längs ena diagonalen blir vinklarna 45, 45 och 90 grader.
Det tror jag man lär sig redan på grundskolan, i alla fall repeterar man att vinkelsumman i en triangel är 180 grader i Ma2.

Förstår det, lite svårt att formulera hur jag menar men tänkte mera om det spelar någon roll vilka vinklar man har alltså om det är en triangel med en vinkel på 70grader osv. Kommer det oavsett bli samma värden på cos, sin, tan glömt lite hur det är. Eller är det specifikt dessa vinklar och figurer för att de har sida 1/2 och 1/roten ur 2?

Det är specifikt för dessa två rätvinkliga trianglar. Det finns andra vinklar som ger trevliga värden på sinus och cosinus (t ex 3-4-5-triangeln) men då blir det inga snygga värden på vinklarnas storlek.

Sinus för en viss vinkel är alltid längden av den motstående kateten delat med hypotenusan i en rätvinklig triangel, och cosinus för en viss vinkel är alltid längden av den närliggande kateten delat med hypotenusan i en rätvinklig triangel. Själv tycker jag detta är hopplöst att komma ihåg och stoppar genast in triangeln i enhetsciekeln, där jag vet att cosinus och sinus är i alfabetisk ordning precis som x och y (så cosinus är x-värdet och sinus är y-värdet där vinkeln skär enhetscirkeln).

Smaragdalena skrev :
...
Sinus för en viss vinkel är alltid längden av den motstående kateten delat med hypotenusan i en rätvinklig triangel, och cosinus för en viss vinkel är alltid längden av den närliggande kateten delat med hypotenusan i en rätvinklig triangel. Själv tycker jag detta är hopplöst att komma ihåg och stoppar genast in triangeln i enhetsciekeln, där jag vet att cosinus och sinus är i alfabetisk ordning precis som x och y (så cosinus är x-värdet och sinus är y-värdet där vinkeln skär enhetscirkeln).

... och jag tycker tvärtom att det är enklare att komma ihåg enligt följande:

Sinus = sin = Engelska "sin" = synd, vilket man vill hålla långt ifrån sig, vilket innebär motstående katet delat med hypotenusan.

Cosinus = Engelska "cozy" = mysigt, vilket man vill ha nära, vilket innebär närliggande katet delat med hypotenusan.

----------

Det här beror nog på att jag på något märkligt sätt lyckades gå igenom både N-linjen och sedan en KTH-utbildning i Teknisk Fysik utan något minne av att någonsin ha lärt mig enhetscirkeln!