48 svar
565 visningar
Joh_Sara behöver inte mer hjälp
Joh_Sara 722 – Avstängd
Postad: 28 okt 2020 09:11

lös ekvationerna

Hej, Skulle behöva hjälp med den här. Har kört fast och förstår inte riktigt. 

Massa 490
Postad: 28 okt 2020 09:22

a)

v=3x-pi/2

cos v=31/2/ 2

v=?

x=?

b)

v=2x-pi/4

sin v=1/21/2

v=?

x=?

Joh_Sara 722 – Avstängd
Postad: 28 okt 2020 11:51

jag fattar inte..

blir v i a) = 31/22=1,52=0,75?

blir v i b) = (12)1/2=0,25?

Yngve 40279 – Livehjälpare
Postad: 28 okt 2020 12:25 Redigerad: 28 okt 2020 12:26

Hej.

Vi tar en sak i taget.

Ekvationen cos(v)=32\cos(v)=\frac{\sqrt{3}}{2} har lösningarna v=±π6+n·2πv=\pm\frac{\pi}{6}+n\cdot2\pi.

Vi kan dela upp detta i två grupper:

  1. v=π6+n·2πv=\frac{\pi}{6}+n\cdot2\pi
  2. v=-π6+n·2πv=-\frac{\pi}{6}+n\cdot2\pi

I vår ekvation är v=3x-π2v=3x-\frac{\pi}{2}, vilket ger dig de två lösningsmängderna

  1. 3x-π2=π6+n·2π3x-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{6}+n\cdot2\pi
  2. 3x-π2=-π6+n·2π3x-\frac{\pi}{2}=-\frac{\pi}{6}+n\cdot2\pi

Lös ut xx ur de båda ekvationerna och välj det/de värden på heltalet nn som gör att xx hamnar i det önskade intervallet.

Visa dina försök och fråga om allt som är oklart.

Joh_Sara 722 – Avstängd
Postad: 28 okt 2020 14:01

jag fattar inte :( det är så svårt alltihop.. så den här uppgiften löser man med formeln ekvationen tanv=k

v=arctank+n*pi (där n är ett godtyckligt tal) 32=pi6eftersom cos är x axeln på enhetscirkeln så läser man av det i den första kvadranten? är jag på rätt spår eller helt fel?

ursäkta min fula bild men vill verkligen förstå den här enhetscirkeln. 

Yngve 40279 – Livehjälpare
Postad: 28 okt 2020 14:17 Redigerad: 28 okt 2020 14:22

Jag förstår inte vad tan(v) har med uppgiften att göra.

Vi gör en förenkling och kallar tillfälligt 3x-π23x-\frac{\pi}{2} för vv.

Då lyder ekvationen cos(v)=32\cos(v)=\frac{\sqrt{3}}{2}.

Eftersom alla punkter på enhetscirkeln kan skrivas i koordinatforn som (cos(v),sin(v))(\cos(v),\sin(v)) så är ekvationens lösningar alla de värden på vinkeln vv för vilka "den första" koordinaten på enhetscirkeln har värdet 32\frac{\sqrt{3}}{2}.

Du kan direkt ur din fina enhetscirkel utläsa att två lösningar är v=π6v=\frac{\pi}{6} och v=-π6v=-\frac{\pi}{6}. Jag har markerat dessa i figuren.

Eftersom cosinus är en periodisk funktion med oerioden 2π2\pi så måste vi lägga till perioden på våra lösningar och vi får då

v=π6+n·2πv=\frac{\pi}{6}+n\cdot2\pi och

v=-π6+n·2πv=-\frac{\pi}{6}+n\cdot2\pi

Hänger du med så långt?

Joh_Sara 722 – Avstängd
Postad: 28 okt 2020 14:20

ja nu ser jag. Hänger med på det. Men hänger inte med på hur jag löser dem. 

Yngve 40279 – Livehjälpare
Postad: 28 okt 2020 14:22 Redigerad: 28 okt 2020 14:23

OK bra. Vad mer exakt är det du inte hänger med på?

Joh_Sara 722 – Avstängd
Postad: 28 okt 2020 14:29

hur jag löser ut x. 

Yngve 40279 – Livehjälpare
Postad: 28 okt 2020 14:42 Redigerad: 28 okt 2020 14:47

Det är inget magiskt, bara vanlig ekvationslösning. Vi tar en i taget:

v=π6+n·2πv=\frac{\pi}{6}+n\cdot2\pi

Eftersom v=3x-π2v=3x-\frac{\pi}{2} så får vi

3x-π2=π6+n·2π3x-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{6}+n\cdot2\pi

Addera π2\frac{\pi}{2} till båda sidor:

3x=π6+π2+n·2π3x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}+n\cdot2\pi

Förenkla HL:

3x=2π3+n·2π3x=\frac{2\pi}{3}+n\cdot2\pi

Dividera båda sidor med 3:

x=2π9+n·2π3x=\frac{2\pi}{9}+n\cdot\frac{2\pi}{3}

Hängde du med?

Kan du göra samma sak med den andra ekvationen?

Joh_Sara 722 – Avstängd
Postad: 28 okt 2020 15:09

hängde med på allt förutom de två sista stegen...  hur blir det 2π3?

Joh_Sara 722 – Avstängd
Postad: 28 okt 2020 15:13

är det att vi ska få MGN där och multiplicerar ihop det så det blir 8pi/24 /8 = 1pi/3? men då hänger jag inte med på att det blir 2pi/3 

Joh_Sara 722 – Avstängd
Postad: 28 okt 2020 15:15

blir inte den andra ekvationen samma?

Yngve 40279 – Livehjälpare
Postad: 28 okt 2020 15:21 Redigerad: 28 okt 2020 15:23
Joh_Sara skrev:

hängde med på allt förutom de två sista stegen...  hur blir det 2π3?

Högerledet:

π6+π2+n·2π\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}+n\cdot2\pi

Förläng andra termen med 3:

π6+3π6+n·2π\frac{\pi}{6}+\frac{3\pi}{6}+n\cdot2\pi

Sätt de båda första termerna på gemensamt bråkstreck:

π+3π6+n·2π\frac{\pi+3\pi}{6}+n\cdot2\pi

Förenkla:

4π6+n·2π\frac{4\pi}{6}+n\cdot2\pi

Förkorta första termen med 2:

2π3+n·2π\frac{2\pi}{3}+n\cdot2\pi

Joh_Sara 722 – Avstängd
Postad: 29 okt 2020 13:30

hmmm känner mig lite vilse här: men vi hade x=2π9+n*2π3och sen blev det 2π3+n*2π för att vi dividerade 3 ?

Yngve 40279 – Livehjälpare
Postad: 29 okt 2020 16:55

Nej titta igenom detta svar igen.

Joh_Sara 722 – Avstängd
Postad: 29 okt 2020 20:33

jag får inte riktigt ihop detta :( 

Yngve 40279 – Livehjälpare
Postad: 29 okt 2020 21:55 Redigerad: 29 okt 2020 23:22

Vilket/vilka av följande steg är det du fastnar på?

  1. Ekvationen är cos(3x-π2)=32\cos(3x-\frac{\pi}{2})=\frac{\sqrt{3}}{2}
  2. För att förenkla ekvationen inför vi tillfälligt variabeln v=3x-π2v=3x-\frac{\pi}{2}
  3. Ekvationen kan då skrivas cos(v)=32\cos(v)=\frac{\sqrt{3}}{2}
  4. Den ekvationen har de två lösningsmängderna v=π6+n·2πv=\frac{\pi}{6}+n\cdot2\pi och v=-π6+n·2πv=-\frac{\pi}{6}+n\cdot2\pi
  5. Vi tittar nu endast  på den första lösningsmängden. Den andra kan senare hanteras på motsvarande sätt.
  6. Eftersom v=3x-π2v=3x-\frac{\pi}{2} så kan den första lösningsmängden skrivas 3x-π2=π6+n·2π3x-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{6}+n\cdot2\pi
  7. Om vi adderar π2\frac{\pi}{2} till bägge sidor får vi 3x=π6+π2+n·2π3x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}+n\cdot2\pi
  8. Vi förlänger andra termen i högerledet med 3 och får då 3x=π6+3π6+n·2π3x=\frac{\pi}{6}+\frac{3\pi}{6}+n\cdot2\pi
  9. De båda första termerna i högerledet har nu samma nämnare och vi kan därför sätta dem på gemensamt bråkstreck.
  10. Ekvationen blir då 3x=π+3π6+n·2π3x=\frac{\pi+3\pi}{6}+n\cdot2\pi
  11. Efter förenkling blir ekvationen 3x=4π6+n·2π3x=\frac{4\pi}{6}+n\cdot2\pi
  12. Vi förkortar första termen i högerledet med 2 och ekvationen blir då 3x=2π3+n·2π3x=\frac{2\pi}{3}+n\cdot2\pi
  13. Nu dividerar vi bägge sidor med 3 och får då x=2π9+n·2π3x=\frac{2\pi}{9}+n\cdot\frac{2\pi}{3}
Joh_Sara 722 – Avstängd
Postad: 30 okt 2020 10:07

okej jag tror jag är med. Har testräknat och det känns ok. 

i ekvation 2 blir det då:

3x-π2=-π6+n*2π3x=-π6+π2+n*2πHL blir: förlänger andra termen med 3 -π6+3π6+n*2π-π+3π6+n*2π2π6+n*2π förkortar med 2 i första termenπ3+n*2π3x=π3+n*2π förkortar med 3x=π9+n*2π3

Stämmer det?

Yngve 40279 – Livehjälpare
Postad: 30 okt 2020 11:07

 Ja det stämmer. Bra!

Nästa steg är att se vilken/vilka av alla dessa lösningar som hamnar inom det tillåtna intervalmet.

Pröva med några olika värden på konstanten nn.

Vusa dina resultat.

Joh_Sara 722 – Avstängd
Postad: 30 okt 2020 11:11 Redigerad: 30 okt 2020 11:21

har testat att räkna uppgift b)

sin(2x-π4)=12först ska vi finna sin för 12 12förlänger med 2 och får 22 som är 45° = π42x-π4=±π4+n*2π2x=π+π4+n*2π = 2π4+n*2π2x=2π4 förkorta med 2  båda sidorx=π4+n*2π/2och π-π4+n*2π =04+n*2π2x=04 förkorta med 2x=0+n*2π/2

Joh_Sara 722 – Avstängd
Postad: 30 okt 2020 12:09

asså jag fattar  inte riktigt men förösker såhär-

Ekvation (1) 2π9+2πn3n(1) = (2π*39*3+2πn*93*9=6π+18π27=24π27

jag fattar att jag ska sätta in värden på n men förstår inte ritkgit hur jag sak räkna. 

Laguna Online 30482
Postad: 30 okt 2020 12:28
Joh_Sara skrev:

asså jag fattar  inte riktigt men förösker såhär-

Ekvation (1) 2π9+2πn3n(1) = (2π*39*3+2πn*93*9=6π+18π27=24π27

jag fattar att jag ska sätta in värden på n men förstår inte ritkgit hur jag sak räkna. 

Du behöver inte använda 27 som nämnare, 9 går bra. Men det är rätt i alla fall, så frågan är om 24π/2724\pi/27 är mindre än π\pi.

Joh_Sara 722 – Avstängd
Postad: 30 okt 2020 13:37

okej, nej det blir större än 3,14. Det blir 8,37. Hur ska mjag tänka och vad blir svaret? blir förvirrad.. Jag natar att jag ska ta reda på alla värden för n där svaret blir större än 0 men mindre än pi. ??

Yngve 40279 – Livehjälpare
Postad: 30 okt 2020 14:11 Redigerad: 30 okt 2020 14:20

Du ska hitta alla värden på xx som ligger i intervallet 0xπ0\leq x\leq\pi.

Vi börjar med första lösningsmängden, dvs x=2π9+n·2π3x=\frac{2\pi}{9}+n\cdot\frac{2\pi}{3}.

  • Om n=-1n=-1 får vi då x=2π9-1·2π3=2π9-6π9=-4π9x=\frac{2\pi}{9}-1\cdot\frac{2\pi}{3}=\frac{2\pi}{9}-\frac{6\pi}{9}=-\frac{4\pi}{9}. Det är utanför intervallet.
  • Om n=0n=0 får vi då x=2π9+0·2π3=2π9x=\frac{2\pi}{9}+0\cdot\frac{2\pi}{3}=\frac{2\pi}{9}. Det är inuti intervallet.
  • Om n=1n=1 får vi då x=2π9+1·2π3=2π9+6π9=8π9x=\frac{2\pi}{9}+1\cdot\frac{2\pi}{3}=\frac{2\pi}{9}+\frac{6\pi}{9}=\frac{8\pi}{9}. Det är inuti intervallet.
  • Om n=2n=2 får vi då x=2π9+2·2π3=2π9+12π9=14π9x=\frac{2\pi}{9}+2\cdot\frac{2\pi}{3}=\frac{2\pi}{9}+\frac{12\pi}{9}=\frac{14\pi}{9}. Det är utanför intervallet.

======

Nu tar vi den andra lösningsmängden, dvs x=π9+n·2π3x=\frac{\pi}{9}+n\cdot\frac{2\pi}{3}.

  • Om n=-1n=-1 får vi då x=π9-1·2π3=π9-6π9=-5π9x=\frac{\pi}{9}-1\cdot\frac{2\pi}{3}=\frac{\pi}{9}-\frac{6\pi}{9}=-\frac{5\pi}{9}. Det är utanför intervallet.
  • Om n=0n=0 får vi då x=π9+0·2π3=π9x=\frac{\pi}{9}+0\cdot\frac{2\pi}{3}=\frac{\pi}{9}. Det är inuti intervallet.
  • Om n=1n=1 får vi då x=π9+1·2π3=π9+6π9=7π9x=\frac{\pi}{9}+1\cdot\frac{2\pi}{3}=\frac{\pi}{9}+\frac{6\pi}{9}=\frac{7\pi}{9}. Det är inuti intervallet.
  • Om n=2n=2 får vi då x=π9+2·2π3=π9+12π9=13π9x=\frac{\pi}{9}+2\cdot\frac{2\pi}{3}=\frac{\pi}{9}+\frac{12\pi}{9}=\frac{13\pi}{9}. Det är utanför intervallet.

========

Om vi räknar ihop det så hittar vi 4 lösningar inom intervallet, nämligen x=π9x=\frac{\pi}{9}, x=2π9x=\frac{2\pi}{9}, x=7π9x=\frac{7\pi}{9}, x=8π9x=\frac{8\pi}{9}.

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 30 okt 2020 14:16

Visa hur du räknade när du fick fram att 24π27\frac{24\pi}{27} är större än π\pi. Du multiplicerar ju π\pi med ett tal som är lite mindre än 1.

Joh_Sara 722 – Avstängd
Postad: 30 okt 2020 15:34

okej tack!

så i uppgift b) blir det såhär då;

x=π4+n*2π2n=-1 ger x=π4-1*2π2=π4-4π4=-3π4 Inte i intervalletn=0 ger x= π4+0*2π2=π4 ja ligger i intervalletn=1 ger =π4+1*2π2=π4+4π4=5π4 nej ligger inte i intervalletn=2 ger x=π4+2*2π2=π4+4π4=5π4 nej ligger inte i intervallet

sen blir jag lite osäker om jag räknat uppgift b rätt. Den finns lite längre upp i denna tråd om du skulle vilja kika på den?

för nästa lösningsmängd är x=0+n*2π/2

hansa 12
Postad: 30 okt 2020 16:04

Behöver inte bli så krångligt. Kan vara lättare att skissa cos och sin i ett diagram. Då ser man att i intervallet

har cos bara värdet 3/2 för argumentet π/6. D v s 3x-π/2=π/6 som ger x=2π/9

Sin däremot har värdet 1/2 för både argumentet π/4 och 3π/4, så man får ekvationerna

2x-π/4=π/4 som ger x=π/4 och

2x-π/4=3π/4 som ger x=π/2

Yngve 40279 – Livehjälpare
Postad: 30 okt 2020 16:44 Redigerad: 30 okt 2020 16:47
Joh_Sara skrev:

har testat att räkna uppgift b)

sin(2x-π4)=12först ska vi finna sin för 12 12förlänger med 2 och får 22 som är 45° = π42x-π4=±π4+n*2π2x=π+π4+n*2π = 2π4+n*2π2x=2π4 förkorta med 2  båda sidorx=π4+n*2π/2och π-π4+n*2π =04+n*2π2x=04 förkorta med 2x=0+n*2π/2

Nej det här stämmer inte.

Du blandar nog ihop lösningarna till cosinus- och sinusekvationer.

Ekvationen sin(v)=12\sin(v)=\frac{1}{\sqrt{2}} har lösningarna v=π4+n·2πv=\frac{\pi}{4}+n\cdot2\pi och v=π-π4+n·2πv=\pi-\frac{\pi}{4}+n\cdot2\pi, inte v=±π4+n·2πv=\pm\frac{\pi}{4}+n\cdot2\pi som du har skrivit.

Kolla enhetscirkeln!

Yngve 40279 – Livehjälpare
Postad: 30 okt 2020 16:53 Redigerad: 30 okt 2020 16:54
hansa skrev:

Behöver inte bli så krångligt. Kan vara lättare att skissa cos och sin i ett diagram. Då ser man att i intervallet

har cos bara värdet 3/2 för argumentet π/6. D v s 3x-π/2=π/6 som ger x=2π/9

...

Nej det resonemanget håller inte. Det är xx som ska ligga i intervallet, inte 3x-π23x-\frac{\pi}{2}.

Samma sak gäller för b-uppgiften.

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 30 okt 2020 20:44

Jag tycker det underlättar väldigt mycket att veta att orden cosinus och sinus är i alfabetisk ordning, precis som x och y.

Joh_Sara 722 – Avstängd
Postad: 31 okt 2020 13:30

okej så mina svar 

x=π4+n*2πx=04+n*2πÄr dem fel?

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 31 okt 2020 14:55

Antar att det fortfarande handlar om fråga a.Det är inte rätt svar på den fråga som ställts i uppgiften. Man vill bara ha de svar som ligger mellan 0 och π\pi inklusive ändpunkterna. Vilka av dina svar ligger i rätt intervall?

Yngve 40279 – Livehjälpare
Postad: 31 okt 2020 15:09 Redigerad: 31 okt 2020 15:10
Joh_Sara skrev:

okej så mina svar 

x=π4+n*2πx=04+n*2πÄr dem fel?

Ja det är fel för uppgift b).

Läs detta svar igen.

Joh_Sara 722 – Avstängd
Postad: 31 okt 2020 15:15 Redigerad: 31 okt 2020 15:18

okej så det är inte lösningsmängd för uppgift b?

 lösningsmängd: π4+n*2π-π4+n*2π

Yngve 40279 – Livehjälpare
Postad: 31 okt 2020 15:32 Redigerad: 31 okt 2020 15:36

Nej det är inte rätt lösningsmängder.

Ta ett steg i taget och använd enhetscirkeln!

Steg 1: Förenkla ekvationen genom att införa en ny obekant v=2x-π4v=2x-\frac{\pi}{4}

Steg 2: Använd enhetscirkeln för att hitta ekvationens två lösningar i intervallet 0v<2π0\leq v<2\pi.

Steg 3: Använd vetskapen att sinusfunktionen har perioden 2π2\pi för att skriva alla lösningar vv.

Steg 4: Ersätt vv med 2x-π42x-\frac{\pi}{4} och lös ut xx i de båda lösningsmängderna.

Steg 5: Välj ut det/de värden på konstanten nn som ger de värden på xx som ligger i det önskade intervallet.

Det är alltså samma tillvägagångssätt som på a-uppgiften.

Visa alla dina resonemangs- och beräkmingssteg detaljerat.

Joh_Sara 722 – Avstängd
Postad: 3 nov 2020 09:44

Jag förstår inte riktigt nu. Om jag löser (sin2x-π4)=12så får jag

12*22=22=45°=π4

 

eller är det att jag får

22=45 som är π4och -22=315 som är 7π4 i enhetscirkeln är det där som sin -22 finns.

Yngve 40279 – Livehjälpare
Postad: 3 nov 2020 11:59 Redigerad: 3 nov 2020 12:15

Det blir lite fel när du förlänger med 2\sqrt{2}.

Det gäller att 12=22·12=22\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.

Sen blandar du ihop vinklar med sinusvärden.

Det gäller inte att 22=π4\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi}{4}.

Däremot gäller att ekvationen sin(v)=22\sin(v)=\frac{\sqrt{2}}{2} har lösningarna

v=π4+n·2πv=\frac{\pi}{4}+n\cdot2\pi och

v=π-π4+n·2πv=\pi-\frac{\pi}{4}+n\cdot2\pi

Är du med på det?

Du kan läsa av detta direkt i enhetscirkeln:

Joh_Sara 722 – Avstängd
Postad: 3 nov 2020 12:13

nej känns inte som det.

Yngve 40279 – Livehjälpare
Postad: 3 nov 2020 12:17

Ok jag har kompletterat mitt senaste svar med en bild av var lösningarna återfinns i enhetscirkeln. Blir det klarare då eller är det något som du vill fp förtydligat?

Joh_Sara 722 – Avstängd
Postad: 4 nov 2020 15:41 Redigerad: 4 nov 2020 15:48

hmm okej så lösningsmängden är då: 

π4+n*2π3π4+n*2π

?

då får jag isf ekvationerna:

1) 2x-π4=π4+n*2π=2x=π4+π4+n*2π=2x=2π4+n*2π=x=2π8+n*2π22)2x-π4=3π4+n*2π=2x=3π4+π4+n*2π=x=3π8+n*2π2

Är detta rätt såhär långt?

Yngve 40279 – Livehjälpare
Postad: 4 nov 2020 15:57 Redigerad: 4 nov 2020 17:03

1) är rätt och uttrycket kan förenklas.

2) är rätt förutom att du har missat att addera termerna 3π4\frac{3\pi}{4} och π4\frac{\pi}{4} med varandra i högerledet. Sedan kan uttrycket förenklas.

Joh_Sara 722 – Avstängd
Postad: 4 nov 2020 17:49

ja skrev fel det ska va x=4π8+n*2π

förenklat då menar du att det ska se ut såhär:

x=π4+n*2πx=π2+n*2π

Yngve 40279 – Livehjälpare
Postad: 4 nov 2020 20:24

Ja nästan. Du glömmer att dividera n·2πn\cdot2\pi med 2.

Joh_Sara 722 – Avstängd
Postad: 5 nov 2020 08:36

ja okej men om jag ska testa detta nu då för vilka x. för ekvation nr 1:

n=-1: π4-1+n*2π2=π4-4π4=-3π4

n=0= π4+0*2π2=π4

n=1=π4+1*2π2=π4+4π4=5π4

n=2π4+2*2π2=π4+8π4=9π4

men jag får bara att för n=0 så är det inuti intervallet men inget av dem andra. stämmer det?

Yngve 40279 – Livehjälpare
Postad: 5 nov 2020 10:43

Ja det stämmer.

Hittar du någon lösning inom önskat intervall från den andra lösnimgsmängden?

Joh_Sara 722 – Avstängd
Postad: 6 nov 2020 08:48

n=-1=x=π2+n*2π2 = π2-1*2π2=-π2 n=0=x=π2+n*2π2=π2+0*2π2=π2n=1=x=π2+n*2π2=π2+2π2=3π2n=2=x=π2+n*2π2=π2+4π2=5π2

det är bara π2 och π4som ligger i intervallet. Men måste jag inte ha samma nämnare? det var det på den andra uppgiften?

Yngve 40279 – Livehjälpare
Postad: 6 nov 2020 13:37

Ja det stämmer.

Nej du måste inte ha samma nämnare på lösningarna.

Joh_Sara 722 – Avstängd
Postad: 6 nov 2020 14:22

okej. Tack så jättemycket för all hjälp! :)

Svara
Close