Lös ekvationen z^4-2z+4=0

Bra början!

Du kan fortsätta så:

Du har kommit fram till att

 $$\begin{gathered} t=1\pm \sqrt{3}i \Rightarrow z^2=t=1\pm \sqrt{3}i \\ {z^2}_1=1+\sqrt{3}i \\ {z^2}_2=1-\sqrt{3}i \\ För att du ska få fram vad z är så kan du skriva 1+\sqrt{3}i respektive 1-\sqrt{3}i i polär form. \\ Sen kan du använda forme\ln för kvadratrötter. \end{gathered}$$

Ansätt z = a+bi.

z² är då a²-b² +2abi.

Här har vi a²-b² = 1 och 2ab = $\sqrt{3}$.

Jag testade att ansätta z till a+bi nu och får fram att b = +-2i och a =+-√3i så att

Z = +-√3i +-2 

Vet inte vad jag gör fel?:(

Jag testade även att skriva de på polär form och fick:

(z1)^2 = 1+ $\sqrt{3}$i =  $2(\mathrm{cos\pi }/3+ i\mathrm{sin\pi }/3)$

(z2)^2 = 1- 3i =  2(cos-π/3+ isin-π/3)

Jag förstår dock inte hur jag ska fortsätta här ifrån?

$2ab=\sqrt{3}$ ger $a=\sqrt{3}/(2b)$.

Tack det är sant! Jag kommer dock nu fram till att:

a^2-b^2 = 1 <=>

3/(4b^2)-b^2 = 1 <=>

3-4b^4 = 4b^2 <=>

b^4 + b^2 -3/4 = 0 

jag låter b^4 = t^2 och får

t^t + t -3/4 = 0 vilket med pq-formeln ger att:

t = -1/2 +-1 dvs. t1 =-3/2; t2 = 1/2

(b^2 = t1 = -3/2 <=> b =+-$\sqrt{3/2}$i ) men a ska ju vara reell

b^2 = t2 = 1/2 <=> b =+-1/$\sqrt{2}$

Jag får  då att a =+- $\sqrt{3}$/(2*1/$\sqrt{2}$)=+-$\sqrt{6}$/2

Tack så mycket för hjälpen!