Lös ekvationen z^3 = 27i. Illustrera lösningarna i det komplexa talplanet.

Se här: matte-4/komplexa-tal/komplexa-tal-i-polar-form

I ditt fall är a=0 och b=27

Kommer du vidare?

Hej! Jag förstår att för att skriva om till polär form behöver absolutbeloppet och argumentet beräknas. Jag har beräknat absolutbeloppen vilket är 27.

För att beräkna argumentet antar jag att jag ska skriva om Z^3 = 27i så att Z blir ensamt: $Z=\sqrt[3]{27i}$. Är det här rätt hittils? Hur går jag i så fall vidare? Jag förstår även att man ska ta reda på tanv = y/x. Tack på förhand

Börja med att skriva z på polär form: z = re^iv. Skriv sedan 27i på polär form: 27i = 27$e^{i\mathrm{\pi }/2}$.

Så vi behöver lösa (re^iv)³ = r³e^3iv = 27$e^{i\mathrm{\pi }/2}$.

Kommer du vidare själv?

Hej! ok visste inte om den formeln! Vet dock inte hur jag ska gå vidare med att lösa (re^iv)^3 = r^3e^3iv = 27e^iπ/2

Du kan lösa det genom att dela upp i två ekvationer. En för beloppen och en för argumenten.

Dvs

r³ = 27 och

$e^{3iv}=e^{i\pi /2}$.

Notera att den senare ekvationen ger mer än en lösning för v.

$r = \sqrt[3]{27}$

e^ipi/2 = i

e^3iv = i

Är det här rätt?

Det är en möjlig väg framåt.

$e^{3iv}=$ cos(3v) + isin(3v) = i, vilket ger cos(3v) = 0 och sin(3v) = 1. Vilka värden på v är möjliga?