15 svar

1257 visningar

Lisa Mårtensson behöver inte mer hjälp

Lös ekvationen x^3-64=0 för x i C

Jag ska lösa ekvationen $x^{3} - 64 = 0$ för $x$ i $ℂ$ .

Jag skulle kunna börja med att flytta över 64 till HL.

Då får jag $x^{3} = 64$ och jag skulle vilja svara att x=4 eftersom $4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$ ,

men det är inte rätt svar och jag måste ha missuppfattat vad det är som ska göras här.

”för x i $ℂ$ ”, vad menas med det?

C (med dubbla streck) är mängden av komplexa tal. 4 är en lösning men det finns två till.

Lisa Mårtensson skrev:
Jag ska lösa ekvationen $x^{3} - 64 = 0$ för $x$ i $ℂ$ .
Jag skulle kunna börja med att flytta över 64 till HL.
Då får jag $x^{3} = 64$ och jag skulle vilja svara att x=4 eftersom $4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$ ,
men det är inte rätt svar och jag måste ha missuppfattat vad det är som ska göras här.
”för x i $ℂ$ ”, vad menas med det?

Det betyder att du ska söka lösningar bland de komplexa talen. Då får du två lösningar till.

Du kan använda de Moivres formel.

Tack, ja - de Moivres formel känner jag till!

Eftersom en rot är 4 så kan jag använda $(x - 4)$ i enlighet med faktorsatsen:

$(x - k)$ är en faktor till polynomet p(x) om och endast om det komplexa talet k är en rot till p(x).

Jag dividerar $x^{3} - 64$ med x - 4 och får $x^{2} + 4 x + 16$ .

Jag gör om polynomet till andragradsekvationen $x^{2} + 4 x + 16 = 0$ , flyttar 16 till HL, kvadratkompletterar och får då $x^{2} + 4 x + 4 = - 16 + 4$ .

Därefter drar jag roten ur båda led så att $(x + 2)^{2} = - 12$ blir $x + 2 = \pm \sqrt{- 12}$ .

Nu har jag ytterligare 2 komplexa rötter och dessa är

$x_{2} = - 2 + \sqrt{12} i, x_{3} = - 2 - \sqrt{12} i .$

Men kan jag uttrycka rötterna på något annat sätt i $ℂ$ .

Man kan väl skriva rötterna på polär form?

Finns det också fler sätt att uttrycka de komplexa lösningarna?

Lisa Mårtensson skrev:
Eftersom en rot är 4 så kan jag använda $(x - 4)$ i enlighet med faktorsatsen:
$(x - k)$ är en faktor till polynomet p(x) om och endast om det komplexa talet k är en rot till p(x).
Jag dividerar $x^{3} - 64$ med x - 4 och får $x^{2} + 4 x + 16$ .
Jag gör om polynomet till andragradsekvationen $x^{2} + 4 x + 16 = 0$ , flyttar 16 till HL, kvadratkompletterar och får då $x^{2} + 4 x + 4 = - 16 + 4$ .
Därefter drar jag roten ur båda led så att $(x + 2)^{2} = - 12$ blir $x + 2 = \pm \sqrt{- 12}$ .
Nu har jag ytterligare 2 komplexa rötter och dessa är
$x_{2} = - 2 + \sqrt{12} i, x_{3} = - 2 - \sqrt{12} i .$
Men kan jag uttrycka rötterna på något annat sätt i $ℂ$ .
Man kan väl skriva rötterna på polär form?
Finns det också fler sätt att uttrycka de komplexa lösningarna?

Detta tycker jag är en fullt godtagbar lösning.

Du kan ju även använda de Moivres formel, men det blir ju en helt annan metod. Om man gör på sättet som du gjort tycker inte jag det finns något behov av att använda polär form. Däremot kan det vara bra att vara bekant med hur man gör med de Moivres formel eftersom det blir enklare för ekvationer där exponenten är större.

Jag känner som sagt till de Moivres formel från Matte 4 och man kan ju läsa om den här på Mattecentrum också. Ändå förstår jag inte riktigt hur jag ska använda formeln till denna uppgift.

Sen är det så att jag undrar hur jag kan uttrycka lösningarna på olika sätt eftersom jag inte får rätt på denna uppgift på en e-problemsamling som jag jobbar med.

När man multiplicerar tre komplexa tal, multipliceras beloppen och summeras deras vinklar.

En lösning var enkelt given i polära koordinater: $4 ∠ 0 °$
Dom andra två ges av att:
$4 ∠ 0 ° * 4 ∠ 120 ° * 4 ∠ 240 ° = 64 ∠ (0 ° + 120 ° + 240 °) = 64 ∠ (360 °) = 64 ∠ 0 °$

Övergången från polära till komplexa tal ritas sedan enkelt som t.ex.:

Sätt $x=re^{iv}$

$x^3=r^3e^{3iv}=64\Rightarrow$

$r^3=64$

$3v=2\pi n$

Jag förstår varför det komplexa talet 4 har en vinkel på $0 °$ men hur kan man veta att de komplexa talen $- 2 \pm \sqrt{12} i$ har vinklarna $120 °$ och $240 °$ ?

Lisa Mårtensson skrev:
Jag förstår varför det komplexa talet 4 har en vinkel på $0 °$ men hur kan man veta att de komplexa talen $- 2 \pm \sqrt{12} i$ har vinklarna $120 °$ och $240 °$ ?

Vad får du för värden på $v$ med $n=1$ respektive $n = 2$ ?

Lisa Mårtensson skrev:
Jag förstår varför det komplexa talet 4 har en vinkel på $0 °$ men hur kan man veta att de komplexa talen $- 2 \pm \sqrt{12} i$ har vinklarna $120 °$ och $240 °$ ?

Du förväntas komma ihåg att de n stycken rötterna till ekvationen $x^n=z$ ligger med jämna mellanrum på en cirkel med radien $|z^{\frac{1}{n}}|$ . När du vet en av rötterna, är det "hyfsat" lätt att hitta alla de andra.

Lisa Mårtensson skrev:
Jag förstår varför det komplexa talet 4 har en vinkel på $0 °$ men hur kan man veta att de komplexa talen $- 2 \pm \sqrt{12} i$ har vinklarna $120 °$ och $240 °$ ?

Det blir 360/3=120 grader för att få samma vinkel mellan de tre rötterna

tomast80 skrev:

Vad får du för värden på $v$ med $n=1$ respektive $n = 2$ ?

När n=1 är 3v= $360 °$ och v= $360 ° / 3 = 120 °$

När n=2 är 3v= $720 °$ och v= $720 ° / 3 = 240 °$

Jag förstår även det som Affe Jkpg skriver att det ska vara samma vinkel mellan de tre rötterna.

Till Smaragdalena svarar jag att jag kan visualisera denna cirkel där den första lösningen x=4 har en vinkel på $0 °$ eftersom Im z = 0. Sedan ska det vara lika långt mellan alla tre lösningarna och det blir då $120 °$ mellan dem. Dessa båda ligger på Re z = -2 men de ligger på den imaginära axeln på den positiva delen $(\sqrt{12})$ respektive den negativa delen $(- \sqrt{12})$ .

På denna form vill de ha lösningarna i problemsamlingen som jag jobbar med. Jag kunde tack vare all hjälp från er svara så här:

Lösningarna på ekvationen $x^{3} - 64 = 0$ är 4, $4 (\cos \frac{2 π}{3} + i \sin \frac{2 π}{3}), 4 (\cos \frac{4 π}{3} + i \sin \frac{4 π}{3})$ .

Svara

Visa senaste svar