Lös ekvationen sin x + 3 cos x =1 .

$\sin x + 3 \cos x = 1 \sqrt{1 - \cos^{2} x} + \sqrt{3} \cos x = 1, (\cos x = u) \sqrt{1 - u^{2}} = 1 - \sqrt{3} u, l ö s e r u t u u 1 = 0 o c h u 2 = \frac{\sqrt{3}}{2} d å u = \cos x \cos x = 0, \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} v i l k e t b l i r x = \frac{π}{2} + 2 π n, x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, x = \frac{π}{6} + 2 π n, x = \frac{11 π}{6} + 2 π n M e n p å f a c i t s t å r d e t x = - \frac{π}{6} o c h x = \frac{π}{2} H u r b l i r d e t s å ? Ä r d e t f e l p å f a c i t ?$

Tim00 skrev:
$\sin x + 3 \cos x = 1 \sqrt{1 - \cos^{2} x} + \sqrt{3} \cos x = 1, (\cos x = u)$

Det ser inte rätt ut. Kan du visa med lite fler mellansteg?

Var kommer roten ur tre ifrån på andra raden?

Är det så att du missat rottecknet framför 3-an i ursprungsekvationen?

Jag använde mig av trigonometriska ettan: Så $\sin^{2} x = 1 - \cos^{2} x \sin x = \sqrt{1 - \cos^{2} x}$

Ja, men varför blev cos(x) till $\sqrt{3} \cos (x)$ ?

Kort inpass: Om det är rätt eller fel i facit är lätt att ta reda på. Kontrollera om din lösning är rätt! Sätt in dina värden och se vad du får. Vad blir sin(x) + 3 cos(x) med dina värden? Blir det = 1?!

ps Jag har inte kollat uppgiften.
Du skrev nog fel på första raden. Ska vara sqrt(3) som du skrev på nästa rad.

Tios: Du fick ut cos(x) . Vad kan x bli då?

Slarvfel. Ekvationen är: $\sin x + \sqrt{3} \cos x = 1$

Om du vill testa lite andra varianter och inte bara lösa ekvationen :

Skriv om som : sin (x)/2+V3/2 cos (x) = 1/2 (kan inte skriva rot, skriver V3)

Då ser vi att detta kan vara sin(pi/6)*sin(x) + cos(pi/6)*cos(x) eller något liknande med cos(2pi/6) . HL är sin(pi/6) eller cos(2pi/6). Och detta liknar ju cos(x-pi/6) . Sedan får du en ny ekvation att lösa!

Tim00 skrev:
$\sin x + 3 \cos x = 1 \sqrt{1 - \cos^{2} x} + \sqrt{3} \cos x = 1, (\cos x = u) \sqrt{1 - u^{2}} = 1 - \sqrt{3} u, l ö s e r u t u u 1 = 0 o c h u 2 = \frac{\sqrt{3}}{2} d å u = \cos x \cos x = 0, \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} v i l k e t b l i r x = \frac{π}{2} + 2 π n, x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, x = \frac{π}{6} + 2 π n, x = \frac{11 π}{6} + 2 π n M e n p å f a c i t s t å r d e t x = - \frac{π}{6} o c h x = \frac{π}{2} H u r b l i r d e t s å ? Ä r d e t f e l p å f a c i t ?$

Nu vet vi att ditt andra ekvationsuttryck är riktigt, det med roten ur 3 framför cosx-termen.
Jag kan inte hitta felet i din uträkning, tyvärr.

Men om jag angriper ekvationen och ersätter cosx, så får jag det svar som facit ger.

Dvs $\sin x + \sqrt{3} \cos x = 1 \sin x + \sqrt{3} \sqrt{(1 - \sin^{2} x} = 1 S ä t t \sin x = u G e r : u + \sqrt{3} \sqrt{(1 - u^{2}} = 1$

Jobba med detta uttryck för att till slut få: $4 u^{2} - 2 u - 2 = 0$

Denna ekvation ger slutligen: $u_{1} = 1 s a m t u_{2} = - \frac{1}{2}$
Vid återgång till variabel x via u=sinx fås rötterna $x_{1} = \frac{π}{2} s a m t x_{2} = - \frac{π}{6}$

Timm00's lösning är ju korrekt.

x=pi/2 samt x=-pi/6 (11pi/6) satisfierar ekvationen medan -pi/2 samt pi/6 ej gör det.

Har det att göra med att substitutionen u=cosx ej är entydig? +x och -x ger samma u.

Massa skrev:
Timm00's lösning är ju korrekt.
x=pi/2 samt x=-pi/6 (11pi/6) satisfierar ekvationen medan -pi/2 samt pi/6 ej gör det.
Har det att göra med att substitutionen u=cosx ej är entydig? +x och -x ger samma u.

Det visar ju att man alltid måste prova om svaret är rätt och rimligt. Det kan dyka upp falska svar när man kvadrerar och trixar!

Svara

Visa senaste svar