Lös ekvationen sin(3v-1)=-1

Nej du behöver inte krångla med den formeln. Gör istället så här:

1. Kalla 3v - 1 för w.
2. Då lyder ekvatione. sin(w) = -1
3. Lös ut w ur den ekvationen
4. Sätt in det uttrycket för w i ekvationen 3v - 1 = w
5. Lös ut v.

Klart.

Jag fick konstiga svar

Början är bra, men det ska vara 3v - 1 = -90° + n•360°

Fortsätt därifrån.

Varför ska man lägga till n*360? Borde man inte först flytta över ettan sen lägga till 360n?

Är det så du menar?

Nej det stämmer inte. Jag tror att det är bättre att du följer tipset du fick i det här svaret.m, nämligen att använda varaibeln w som hjälp.

Jag kan hjälpa dig med början.

• Kalla 3v - 1 för w.
• Ekvationen blir då sin(w) = -1
• Som vi kan se i enhetscirkeln så har den ekvationen endast en lösning i intervallet 0° $\leq$ w < 360°, nämligen w = 270°.
• Ekvationen har därför lösningarna w = 270° + n•360°.
• Eftersom vi hade 3v - 1 = w så gäller det att 3v - 1 = 270° + n•360°.

Fortsätt därifrån.

Jag förstår inte hur du resonerade det här 

”

Som vi kan se i enhetscirkeln så har den ekvationen endast enlösning i intervallet 0° ≤≤ w < 360°, nämligen w = 270°.

Ekvationen har därför lösningarna w = 270° + n•360°.” 

Vart kom 270 grader ifrån?

Se punkt 4 i detta svar

Jag har läst igenom och förstått det du länkade till. Men här kommer jag ej vidare

Visa hur långt du kommer. Skriv bara det du verkligen förstår.

Detta är det jag har förstått

Nej använd tipset du fått om att använda variabeln w istället. Följ alltså stegen jag beskrev i detta svar 

Ok så långt är jag med 

Ja det stämmer.

Det gäller att w = -90° + n•360°.

Tillägget n•360° representerar periodiciteten, dvs ett helt antal varv i enhetscirkeln.

• Om du väljer n = 0 får du lösningen w = -90°
• Om du väljer n = 1 får du lösningen w = 270°
• Om du väljer n = -1 får du lösningen w = -450°
• Om du väljer n = 2 får du lösningen w = 630°
• Om du väljer n = -2 får du lösningen w = -810°

Är du med på det?

Hur ska man svara?

ska det isf vara

-90+360n=^w1

270+360n=^w2

De båda uttrycken säger samma sak.

Det finns oändligt många vinklar w som uppfyller villkoret sin(w) = -1.

Alla dessa vinklar kan beskrivas med hjälp av uttrycket w = -90° +n•360°, där n är ett heltal.

Om du väljer n = 0 så blr w = -90°

Om du väljer n = 1 så blir w = 270°

Okej alltså gäller det att -90+360n=w

Ja det stämmer. 

Nästa steg är att byta tillbaka från w till 3v - 1.

Det betyder att ekvationen har lösningarna 3v - 1 = -90° + n•360°.

Lös nu ut v ur det sambandet.

3v-1=-90+360n

3v=-89+360n

v1=-89/3 + 120n

v2=180-(-89/3)+120n

Allt är rätt förutom sista raden.

Det finns endast en vinkel w per varv som har sinusvärdet -1. Du behöver alltså inte ta "180° minus vinkeln" här för att hitta den andra vinkeln, eftersom det inte finns någon andra vinkel (inom ett varv) som har samma sinusvärde.

=============

För att övertyga dig om det:

1. Rita en enhetscirkel.
2. Rita en horisontell linje på höjden -1.
3. Denna linje tangerar cirkel på endast ett ställe, nämligen i punkten (0, -1).
4. Radien som.går ut till denna tangeringspunkt bildar vinkeln -90° med den positiva horisontella koordinataxeln (eller, om du vill, vinkeln 270°).
5. Ingen annan vinkel (inom ett varv) ger ett sinusvärde som är -1.
6. Om du istället ritar en linje på höjden 0,5 så ser du att den skär cirkeln på två ställen.
7. Dessa skärningspunkter har koordinaterna (cos(30°), sin(30°) och (cos(180°-30°), sin(180°-30°)).
8. Här behöver du alltså ta "180° minus vinkeln" för att hitta båda lösningarna till ekvationen sin(vinkeln) = 0,5.

Jag vet inte om jag har förstått till 100%. Kan du ge mig en kontrollfrågan?

• Punkten A har koordinaterna (cos(-90°),sin(-90°)).
• Punkten B har koordinaterna (cos(180°-30°),sin(180°-30°))
• Punkten C har koordinaterna (cos(30°),sin(30°))

Från det kan vi se att sin(30°) = sin(180°-30°).

Du bör läsa mer och lära dig om enhetscirkeln. Det är ett mycket användbart verktyg som förklarar en hel del till synes mystiska samband.

Yngve skrev:

• Punkten A har koordinaterna (cos(-90°),sin(-90°)).
• Punkten B har koordinaterna (cos(180°-30°),sin(180°-30°))
• Punkten C har koordinaterna (cos(30°),sin(30°))

Från det kan vi se att sin(30°) = sin(180°-30°).

Du bör läsa mer och lära dig om enhetscirkeln. Det är ett mycket användbart verktyg som förklarar en hel del till synes mystiska samband.

Det här hänger jag med på

Bra. Då ser du kanske även att ekvationen sin(w) = -1 endast har en lösning w per varv?

Den enda lösningen är

v1=-89/3 + 120n

Helt korrekt är att skriva $n \in \mathbb{Z}$. Alltså att $n =0, \pm 1, \pm 2, \ ...$.

Men duger mitt svar?

Ja, om du skriver att n är ett heltal.

Dvs så här:

v = (89/3)° + n•120°, där n är ett heltal.