Lös ekvationen, rationella uttryck

Du kan göra som du gjorde och sedan förkorta alla termer med 2.

Eller att du förlänger första termen med 6, andra med 3 och tredje med y.

(Detta går att se iom att nämnaren 6 kan skrivas som 2*3 och den innehåller därför redan faktorn 2).

Jag fattar helt enkelt inte. Jag gör enligt följande

$$\begin{gathered} \frac{2}{y}+\frac{3}{2y} = \frac{1}{6} \\ \frac{12}{y}+\frac{18}{2y} = 1 \\ \frac{24y^2}{y}+\frac{36y^2}{2y} = 2y^2 \\ 24y+18y = 2y^2 \\ \frac{42y}{2} = y^2 \\ y = \sqrt{21y} \end{gathered}$$

Och om nämnaren 6 går att multiplicera med 3*2, varför förstår jag då att dom andra termerna ska multipliceras med 3 och 2? Varför inte med 6 exempelvis 

A.

Förläng den första med 2

4/(2y)+3/(2y)=1/6

7/(2y)=1/6

y=21

B.

Mgn = 6y, multiplicera med denna på båda sidor

2/y+3/(2y)=1/6

6y (2/y+3/(2y))=6y * 1/6

12+9=y

y=21

C.

Det fungerar alltid med att multiplcera alla nämnarna för att få en faktor att muliplicera med, y*2y*6=12y^2.

Nackdelen är att denna faktor kan bli stor och 'rörig', men det går

12y^2 (2/y+3/(2y))=12y^2 * 1/6

24y+18y=2y^2

42y=2y^2

21y=y^2

Då y=/=0 (annars är ekv. ej väldefinierad) kan vi dividera med y

21=y

Tack för exemplen, jag är med på alla förutom varför MGN är 6y i alternativ B. Varför är det så. Då struntar man ju i att multiplicera med 2y där helt.

MGN betyder minsta gemensamma nämnare.

12y är en gemensam nämnare, men inte den minsta gemensamma nämnaren.

Läs detta avsnitt om MGN och fråga sedan oss om allt du vill att vi förklarar närmare.

Kortfattat:

• Nämnare 1 är y
• Nämnare 2 ör 2y, vilket består av de två faktorerna 2 och y.
• Nämnare 3 är 6, vilket består av de två faktorerna 2 och 3.

Den minsta gemensamma nämnaren är nu produkten av alla unika faktorer, vilket är y, 2 och 3.

Okej, tack. Förstår inte exakt varför det fungerar eller varför det utförs, men får försöka sätta mig in i det.

Att hitta en gemensam nämnare går ut på att få samma nämnare i bråken? Ska man ersätta med den bara eller multiplicera in den.

För 6y(2y) är ju inte samma sak som 6y(y). Så vad är det som är så gemensamt.

Dkcre skrev:

Att hitta en gemensam nämnare går ut på att få samma nämnare i bråken?

Ja, när bråken har samma nämnare så har de en gemensam nämnare.

Exempel:

De två bråktalen $\frac{4}{5}$ och $\frac{1}{3}$ har olika nämnare och har därför inte en gemensam nämnare.

Men om vi förlänger det första bråket med $3$ och det andra bråket med $5$ så blir bråken $\frac{4\cdot3}{5\cdot3}=\frac{12}{15}$ och $\frac{1\cdot5}{3\cdot5}=\frac{5}{15}$.

De två bråken har nu samma nämnare och de har därför en gemensam nämnare

Ska man ersätta med den bara eller multiplicera in den.

Se ovan. Ett sätt att få gemensam nämnare är att förlänga bråken med olika tal/uttryck.

Om du känner dig osäker på metoderna förlänga och förkorta kan du läsa detta avsnitt. Fråga sedan oss om allt du vill att vi förklarar närmare.

För 6y(2y) är ju inte samma sak som 6y(y). Så vad är det som är så gemensamt.

I din uppgift har du de tre nämnarna y, 2y och 6.

Det finns oändligt många gemensamma nämnare, bland annat 6y, 12y, 6y², 18y o.s.v.

Den nämnare som innehåller minst antal faktorer kallas minsta gemensamma nämnare (MGN).

Om du vill repetera begreppet gemensam nämnare kan du läsa detta avsnitt.

Fråga sedan oss om allt du vill att vi förklarar närmare.

Så om jag tar ut antalet unika faktorer, och multiplicerar ihop dem, har jag mgn.

Sen tar jag denna och multiplicerar in i bråken jag redan har, eller förlänger jag bråken med det som behövs för att komma fram till mgn?

Så för första bråket (2/y) ska det förlängas med 6 för att få 12/6y eller multipliceras med 6y för att få (12y/y)? Andra bråket blir i så fall (3/2y)6y. Då har vi (12y/y) och (18y/2y).

Men nämnaren är ju fortfarande likadan och inte gemensam 

Dkcre skrev:

Så om jag tar ut antalet unika faktorer, och multiplicerar ihop dem, har jag mgn.

Ja, det är en förenklad beskrivning.

Sen tar jag denna och multiplicerar in i bråken jag redan har, eller förlänger jag bråken med det som behövs för att komma fram till mgn?

Du förlänger respektive bråk med det som saknas för att bråkets nämnare ska bli MGN.

Så för första bråket (2/y) ska det förlängas med 6 för att få 12/6y

Ja, eftersom faktorn 6 är det som saknas för att nämnaren ska bli MGN, dvs 6y.

Se nedan på förslag på metod/tankegång.

eller multipliceras med 6y för att få (12y/y)?

Andra bråket blir i så fall (3/2y)6y. Då har vi (12y/y) och (18y/2y).

Men nämnaren är ju fortfarande likadan och inte gemensam 

Nej just det. Vi ska inte multiplicera bråken med MGN utan vi ska förlänga dem (med olika uttryck) så att de får samma nämnare.

========

Förslag på metod/tankegång:

Steg 1: Faktorisera nämnarna:

Första bråket har nämnare y. Den går inte att faktorisera.

Andra bråken har nämnare 2y, Den består av de två faktorerna 2 och y.

Tredje bråket har nämnare 6. Den går att faktorisera som 2*3. De två faktorerna är alltså 2 och 3.

De "unika" faktorerna är alltså 2, 3 och y.

Steg 2: Undersök vilka faktorer som "saknas" i respektive nämnare för att få en komplett uppsättning unika faktorer. Förläng respektive bråk med det som saknas.

Första bråkets nämnare (dvs y) har faktorn y men saknar faktorerna 2 och 3. Förläng därför första bråket med 6. Nämnaren blir då 6y

Andra bråkets nämnare (dvs 2y) har faktorerna 2 och y men saknar faktorn 3. Förläng därför andra bråket med 3. Nämnaren blir då 6y.

Tredje bråkets nämnare (dvs 6) har faktorerna 2 och 3 men saknar faktorn y. Förläng därför andra bråket med y. Nämnaren blir då 6y.

Den förklaringen förstår jag, tack så mycket.

Jag läste igenom samtliga inlägg du refererade till flera gånger, vill bara säga det. Tack för att du orkade svara.

Ska göra flera problem ikväll med detta så att det känns absolut självklart.