lös ekvationen med abs. belopp och olikhet

lös ekvationen $|x - 1| = 1 - x$

Jag gjorde såhär:

Är med på att $x - 1 = - (x - 1)$ så kan skriva $|x - 1| = 1 - x = - (x - 1)$

Absolutbelopp kan ej vara negativt så $|x - 1|$ ska alltså bli något positivt dvs det som står i HL innanför parentesen ska vi försöka få negativt eftersom att hela HL blir då positivt.

Så jag tar och löser $(x - 1) < 0$ som blir $x < 1$

Men detta är ju bara en lösning, blir fundersam kring definitionen för $|x| = \{\begin{cases} x, & x \geq 0 \\ - x, & x < 0 \end{cases}$

nu har jag bara räknat med ett fall när x är mindre än noll, ska man inte alltid räkna med två fall som enligt definitionen?

Hur vet man att man bara ska räkna med ett fall i denna? Tänker exempelvis varför man inte räknar $|x - 1| = \{\begin{cases} x - 1, & x - 1 \geq 0 \\ - (x - 1), & x - 1 < 0 \end{cases}$

eller förvirrar jag allting?

Du ska räkna med båda fall. Däremot är det inte nödvändigtvis så att det finns lösningar i båda intervall. :)

pepparkvarn skrev:
Du ska räkna med båda fall. Däremot är det inte nödvändigtvis så att det finns lösningar i båda intervall. :)

men hur vet jag vilket som är rätt liksom för om jag räknar $|x - 1| = \{\begin{cases} x - 1, & x - 1 \geq 0 \\ - (x - 1), & x - 1 < 0 \end{cases}$

så blir ju övre $x \geq 1$ och den undre $x < 1$ när jag flyttar över 1an

Ja, det är rätt uppdelning. Sätt det nu tillsammans med HL från ekvationen. Det ger ekvationerna:

$x - 1 = 1 - x$ , då x ≥ 1

$- (x - 1) = 1 - x$ , då x < 1.

Vad har dessa ekvationer för lösningar?

pepparkvarn skrev:
Ja, det är rätt uppdelning. Sätt det nu tillsammans med HL från ekvationen. Det ger ekvationerna:
$x - 1 = 1 - x$ , då x ≥ 1
$- (x - 1) = 1 - x$ , då x < 1.
Vad har dessa ekvationer för lösningar?

förstår ej hur jag ska lösa ekvationen när det där intervallet är med som förvirrar mig, utan intervallet är lösningen till den övre att addera x i båda led och addera 1 i båda led som ger 2x = 2 som medför x = 1

den andra kan jag inte ens lösa för om jag adderar x i båda led försvinner x och det blir 1 = 1 kvar

vad missar jag?

Du har gjort helt rätt! För att förtydliga lite bara:

Då $x\geq1$ : (absolutbeloppet är positivt)

$x-1=1-x$

$2x=2 \iff x = 1$

Denna lösning ligger i det intervall vi antagit, och är alltså en godkänd lösning.

Då $x<1$ : (absolutbeloppet är negativt)

$-(x-1)=1-x$

$1-x=1-x \iff 1=1$

1 = 1 är alltid sant, och därmed är alla x < 1 lösningar (avgränsas av intervallet som vi antagit)

Det är hela svaret, x = 1 eller x < 1, alltså x ≤ 1.

pepparkvarn skrev:
Du har gjort helt rätt! För att förtydliga lite bara:
Då $x\geq1$ : (absolutbeloppet är positivt)
$x-1=1-x$
$2x=2 \iff x = 1$
Denna lösning ligger i det intervall vi antagit, och är alltså en godkänd lösning.
Då $x<1$ : (absolutbeloppet är negativt)
$-(x-1)=1-x$
$1-x=1-x \iff 1=1$
1 = 1 är alltid sant, och därmed är alla x < 1 lösningar (avgränsas av intervallet som vi antagit)
Det är hela svaret, x = 1 eller x < 1, alltså x ≤ 1.

okej nu är jag med, tusen tack för tålamodet! :)

Varsågod! Ingen fara, vi är ju här för att hjälpa till. Tänk om ni förstod allt på en gång, då skulle ju den här kvarnen behöva söka jobb i köket igen... 😰

Hej,

Det gäller att $|1-x|$ är samma sak som $|x-1|$ och då kan ekvationen skrivas

$|x-1|=x-1$ .

Absolutbelopp är alltid större än noll (eller lika med noll), så för att ekvationen ska kunna gälla måste $x-1\geq0$ . Ekvationen har alltså oändligt många lösningar: alla tal som är sådana att $x \geq 1$ .

Svara

Visa senaste svar