Lös ekvationen för alla a och b

Ett sätt att studera ekvationen är att använda metoder från linjär algebra.

Förutsatt att $x\neq b$ kan man säga att ekvationen undersöker skärningspunkten (om en sådan ens finns) mellan linjerna $y=ax-1$ och $y=2x-2b$

Från gymnasiet kommer vi ihåg att ett sådant system kan ha inga lösningar, en lösning eller oändligt många lösningar beroende på om linjerna ligger ovanpå varandra (är parallella och har samma m-värde), har samma riktningskoefficient men olika m värde, eller om de skär varandra i en punkt.

Ställer vi upp ekvationssystemet  i en totalmatris får vi

$\left[\begin{array}{cc}2&-1\\a&-1\end{array}|\begin{array}{c}2b\\1\end{array}\right]$

Eliminera ett steg (lägg $-a/2\neq 0$ av den första raden till den andra) och undersök vilka värden som ger lösningar på vanligt sätt t.ex. genom att studera antalet pivotelement för olika värden på $a$, konstantvektorn för olika värden på $a,b$ osv. Kom också ihåg att $x\neq b$ är ett krav samt att du antagit $a\neq 0$ för att tillåta den elementära radoperationen. Du behöver alltså undersöka $a=0$ separat.

Ett snarlikt men lite mer krävande angreppssätt är att studera determinanten $(a-2)$. Kanske kommer du ihåg att det finns fyra fall beroende på om determinanten är noll eller nollskild samt om systemet är homogent eller icke-homogent. Återigen måste man vara vaksam på lösningar som ger $x=b$ samt vara beredd på lite extra handpåläggning.

D4NIEL skrev:

Ett sätt att studera ekvationen är att använda metoder från linjär algebra.

Förutsatt att $x\neq b$ kan man säga att ekvationen undersöker skärningspunkten (om en sådan ens finns) mellan linjerna $y=ax-1$ och $y=2x-2b$

Från gymnasiet kommer vi ihåg att ett sådant system kan ha inga lösningar, en lösning eller oändligt många lösningar beroende på om linjerna ligger ovanpå varandra (är parallella och har samma m-värde), har samma riktningskoefficient men olika m värde, eller om de skär varandra i en punkt.

Ställer vi upp ekvationssystemet  i en totalmatris får vi

$\left[\begin{array}{cc}2&-1\\a&-1\end{array}|\begin{array}{c}2b\\1\end{array}\right]$

Eliminera ett steg (lägg $-a/2\neq 0$ av den första raden till den andra) och undersök vilka värden som ger lösningar på vanligt sätt t.ex. genom att studera antalet pivotelement för olika värden på $a$, konstantvektorn för olika värden på $a,b$ osv. Kom också ihåg att $x\neq b$ är ett krav samt att du antagit $a\neq 0$ för att tillåta den elementära radoperationen. Du behöver alltså undersöka $a=0$ separat.

Ett snarlikt men lite mer krävande angreppssätt är att studera determinanten $(a-2)$. Kanske kommer du ihåg att det finns fyra fall beroende på om determinanten är noll eller nollskild samt om systemet är homogent eller icke-homogent. Återigen måste man vara vaksam på lösningar som ger $x=b$ samt vara beredd på lite extra handpåläggning.

I min förra linjär algebra kurs så gick jag inte igenom totalmatriser och pivotelement. Dom kan ha gått igenom det på lektionen men det blev inte en del av mina självstudier, så jag känner mig inte riktigt bekant med den metoden av lösning, just nu.

Men jag kan förstå nu hur man enkelt kan komma fram till en del av lösningarna, endast från likheten:

$$\begin{gathered} ax -1 = 2x - 2b \\ \iff \\ ax - 2x + 2b - 1 = 0 \end{gathered}$$

Vi ser omedelbart att när a = 2 och b = 1/2 så finns oändligt många x-lösningar till likheten, men x måste hålla sig skilt från b (från originaluttrycket), så x är skilt från 1/2.

Man kan också enkelt inse då att när a = 2 och b är skilt från 1/2, så saknas lösningar. 

Men att komma fram till tex:
"a skilt från 0, b = 1 / a: Lösning saknas"
verkar inte vara någon tydlig lösning som man bara kommer fram till genom att studera likheten.
För att själv komma fram till den lösningen så kanske det krävs andra metoder, exempelvis den som du presenterade? 

Jag är också fortfarande lite vaksam över att multiplicera med nämnaren (x - b) från:

$\frac{ax - 1}{x - b}=2$

för det känns som att jag har läst att man kan stöta på problem när man utför den multiplikationen, som är kopplat till division med noll, men det är också möjligt att jag missförstår någonting som jag läste för länge sedan. 

Nämnaren är 0 då

$(x-b)=0$

$x=b$

Detta förbjudna värde på $x$ ger i täljaren

$(ax-1)=(ab-1)$

Och täljaren är noll (dvs du har 0=0 i din likhet) då

$(ab-1)=0$

$b=\frac{1}{a}$

Du kan alltså resonera dig fram till de olika fallen, men det kräver ett visst skarpsinne samt tur. Annars är det väldigt lätt att missa några fall.

Det är betydligt mer systematiskt att gausseliminera systemet och få

$\left[\begin{array}{cc}2&-1\\0&\frac{a}{2}-1\end{array}|\begin{array}{c}2b\\1-ab\end{array}\right]$

Nu är det mycket lätt att särskilja alla fall.

Men har ni inte gått igenom gausseliminering kan jag förstå att det känns lite obekvämt.