Lös ekvationen cos2x - sinx = 1 exakt

valle2 skrev :

Behöver hjälp med att lösa ekvationen cos2x - sinx = 1 exakt.

 Har försökt med följande:

cos2x = cos^2x - sin^2x 

Ja, rätt.

1 = sin^2x + sin^2x 

Nej. Slarvfel?

cos^2x - sin^2x - sin x = sin^2x + sin^2x

Sen vet jag inte riktigt hur jag ska gå vidare.

Här vet jag inte riktigt vad du har gjort - kanske lite följder av slarvfelet.

Men du verkar börja på rätt väg: se till att du bara får sin(x) och sin^2(x) i ditt vänsterled.

Det gäller inte att

$\sin^2(x) + \sin^2(x) = 1$

Det du tänker på är nog trigonometriska ettan, den säger att

$\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$

I din andra tråd så fick du fram att

$\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = 1 - \sin^2(x) - \sin^2(x) = 1 - 2\sin^2(x)$

Om du sätter in detta i din ekvation så får du

$1 - 2\sin^2(x) - \sin(x) = 1$

Om du nu låter $t = \sin(x)$, skulle du kunna lösa denna ekvation?

Första raden är en bra början, men skriv på ett annat sätt!

Om du kollar på formeln för cos2x ser du att den kan skrivas på flera olika sätt. Välj det sättet som bara innehåller ${\sin }^{2}x$. Då blir du av med alla "cos".

Sedan kan du göra substitutionen sinx = t, och då får du en andragradsekvation.

Lös den och substituera tillbaka.

Tack!

Nu fick jag fram 1-2t^2-t= 1

Vilket blir -2t^2-t = 0? Eller?

SvanteR skrev :

Första raden är en bra början, men skriv på ett annat sätt!

Om du kollar på formeln för cos2x ser du att den kan skrivas på flera olika sätt. Välj det sättet som bara innehåller ${\sin }^{2}x$. Då blir du av med alla "cos".

Sedan kan du göra substitutionen sinx = t, och då får du en andragradsekvation.

Lös den och substituera tillbaka.

Tack!

Nu fick jag fram 1-2t^2-t= 1

Vilket blir -2t^2-t = 0? Eller?

Ja det stämmer att man får det. Kan du lösa den ekvationen också?

Stokastisk skrev :

Ja det stämmer att man får det. Kan du lösa den ekvationen också?

Jag faktoriserade -2t^2-t= 0 till

-t(2t+1) = 0

-t= 0 -> t= 0

2t + 1 = 0 

2t/2= -1/2 

t= -1/2 

Stämmer bra.

Så för att få lösningarna till ursprungliga ekvationen måste du nu lösa ekvationerna

$\sin(x) = 0$

och

$\sin(x) = -1/2$

Stokastisk skrev :

Stämmer bra.

Så för att få lösningarna till ursprungliga ekvationen måste du nu lösa ekvationerna

$\sin(x) = 0$

och

$\sin(x) = -1/2$

Det vill säga:

cos 2*0-sin(0) = 1

1-0 = 1

1- 1 = 0

cos(2*-1/2) - sin(-1/2) = 1

Här vet jag inte riktigt hur jag ska lösa vidare

Nej det där blev inte riktigt rätt. Glöm bort helt och hållet din ursprungliga ekvation för ett tag. Hur skulle du enbart lösa ekvationen

$\sin(x) = 0$

Stokastisk skrev :

Nej det där blev inte riktigt rätt. Glöm bort helt och hållet din ursprungliga ekvation för ett tag. Hur skulle du enbart lösa ekvationen

$\sin(x) = 0$

Om sin x = 0 

är x = 0 grader

Ja det är en lösning, men inte alla. Det finns oändligt många fler, kan du hitta alla?

Stokastisk skrev :

Ja det är en lösning, men inte alla. Det finns oändligt många fler, kan du hitta alla?

Menar du 0 + n * 360 grader

och 180- 0 + n * 360 grader? 

Ja precis. Så alla lösningar till

$\sin(x) = 0$

är $x = 360\textdegree n$ eller $x = 180 + 360\textdegree n$, som går att skriva lite mer kompakt som $x = 180\textdegree n$.

Nu måste du också lösa ekvationen

$\sin(x) = -1/2$

och hitta alla lösningar till denna ekvation.

Stokastisk skrev :

Ja precis. Så alla lösningar till

$\sin(x) = 0$

är $x = 360\textdegree n$ eller $x = 180 + 360\textdegree n$, som går att skriva lite mer kompakt som $x = 180\textdegree n$.

Nu måste du också lösa ekvationen

$\sin(x) = -1/2$

och hitta alla lösningar till denna ekvation.

Som blir -30 grader

Det vill säga x = -30 + n *360 grader eller x = 180 - (-30) = 210 + n *360 grader.

Det stämmer bra. Är du med på då att lösningarna till ursprungliga ekvationen måste vara

$x = 180\textdegree n$

$x = -30\textdegree + 360\textdegree n$

$x = 210\textdegree + 360\textdegree n$

Stokastisk skrev :

Det stämmer bra. Är du med på då att lösningarna till ursprungliga ekvationen måste vara

$x = 180\textdegree n$

$x = -30\textdegree + 360\textdegree n$

$x = 210\textdegree + 360\textdegree n$

Ja, precis. Tack så jättemycket för hjälpen!