Lös ekvationen cos(x)=-1 svara i radianer

Vad blir $\mathrm{\pi }+2\mathrm{\pi }·\mathrm{n}, \mathrm{när} \mathrm{n} =\hspace{0.17em}-1?$

Pi-2pi

Har du tittat på enhetscirkeln?

Ja , när cosinus är -1 är vinkeln 180 grader , eller rättare sagt pi radian

Så hur många lösningar blir det på ett varv?

Titta på beergers fråga och ditt svar på den frågan. 

-2pi + pi= -pi

Det är en lösning väl?

Enklast här är att rita enhetscirkeln.

Du har nu alltså visat att $-\mathrm{\pi }\in \{\mathrm{\pi }+2\mathrm{\pi }·\mathrm{n}\}, \mathrm{n}\in \mathrm{\mathbb{Z}}$

Du får samma lösningsmängd om du skriver $\pm \mathrm{\pi }+2\mathrm{\pi }·\mathrm{n}, \mathrm{som} \mathrm{\pi }+2\mathrm{\pi }·\mathrm{n}$, eftersom n kan vara negativt.

Vad säger mig enhetscirkeln?

Såhär ska en enhetscirkel se ut (man skriver ju givetvis inte ut alla vinklar varje gång, men du förstår)

Okej , kan du nu med hjälp av den här enhetscirkeln förklara varför den negativa lösningen utesluts?

Lösningen är $x=\pi+2\pi\cdot n$. Om du "tar bort" ett varv så får du $x=\pi+2\pi\cdot (-1)=-\pi$. 

Ok?

Okej? Är det därför man ska ta bort minus lösningen? Känns svårt att förstå vad du menar helt ärligt 

Alla lösningar $-\mathrm{\pi }+2\mathrm{\pi }·\mathrm{n} (*) \mathrm{finns} \mathrm{med} \mathrm{i} \mathrm{\pi }+2\mathrm{\pi }·\mathrm{n}$ eftersom n kan vara negativt och på så sätt representerar även alla lösningar från (*)

Jaha okej. Men hur kan man kunna se detta? Ska man testa sig fram för att kunna förenkla lösningsmängden?

Om du istället har $\cos x = \frac{1}{2} \iff x=\pm \frac{\mathrm{\pi }}{3}+2\mathrm{\pi }·\mathrm{n}$

Så har du lösningar vid 60 grader och -60 grader. Detta ger två olika lösningar. Men du ser på gröna linjen att 180 och -180 grader är samma lösning.

Katarina149 skrev:

Jaha okej. Men hur kan man kunna se detta? Ska man testa sig fram för att kunna förenkla lösningsmängden?

Använd urtavlan.

$x=\pi+2\pi n$ motsvarar "kvart i" varje heltimme.

$x=-\pi+2\pi n$ motsvarar också "kvart i" varje heltimme.

beerger skrev:

Om du istället har $\cos x = \frac{1}{2} \iff x=\pm \frac{\mathrm{\pi }}{3}+2\mathrm{\pi }·\mathrm{n}$

Så har du lösningar vid 60 grader och -60 grader. Detta ger två olika lösningar. Men du ser på gröna linjen att 180 och -180 grader är samma lösning.

Enhetscirkeln visar att lösningen kan förenklas till 

x=(pi)/(3) + pi*n

Nej, det stämmer inte tyvärr.

Katarina149 skrev:

Enhetscirkeln visar att lösningen kan förenklas till 

x=(pi)/(3) + pi*n

Kan du visa hur du kom fram till det?

Svaret på din ursprungliga fråga är att bägge svaren beskriver samma tal.

Jag hoppas det blir tydligt med de här bilderna:

Pi plus n*2pi med alla heltal n ser ut ungefär så här:

Minus pi plus n*2pi med alla heltal n ser ut ungefär så här: