Lös ekvationen 3sinx+sin 2x =0 (Matematik/Matte 4/Trigonometri)

Den har lösningarna $x = πn$

Det stämmer att ekvationen 3-2cos(x) = 0 saknar lösning.

Däremot har ekvationen sin(x) = 0 fler lösningae än bara x = 0.

Visst borde det stå x=0+360n

Jag ser att jag glömde lägga till 360n

Nej det finns fler lösningar till sin(x) = 0.

Enklast är att använda enhetscirkeln för att hitta alla ställen på cirkeln där höjden (dvs vinkelns sinusvärde) är lika med 0.

Om du vill lösa det algebraiskt så kan du utnyttja att ekvationen sin(x) = 0 har lösningarna x = arcsin(0) + n•360° och x = 180° - arcsin(0) + n•360°.

==========

Generellt sett så har ekvationen sin(x) = a

Två lösningar om -1 < a < 1
En lösning om a = -1 eller a = 1
Ingen lösning om a < -1 eller a > 1

Jaha ok.

alltså för sin (x)=0

så är ena lösningen

x=0

andra lösningen

x=180-0+360n=180+360n

Ja.

Ena lösningen är x = 0° + n•360°

Andra lösningen är x = 180° + n•360°

Vi kan skriva ihop dessa två till en, nämligen x = n•180°

(Där n är ett heltal)

Fråga: Kan du se detta i enhetscirkeln?

Nej inte riktigt. Hur kan man se detta i en enhetscirkel

Rita upp en enhetscirkel och linjen y = 0. Sinus är värdet i y-led (cosinus och sinus kommer i alfabetisk ordning precis som x och y, behäver i alla fall jag tänka på ibland). Ser du att linjen skär cirkeln på två ställen?

För alla punkter på enhetscirkeln så gäller att de har koordinaterna (cos(v), sin(v).

Om sin(v) = 0 så betyder det alltså att den vertikala koordinaten har värdet 0, dvs att punkten ligger på den horisontella axeln.

Det finns två sådana punkter på enhetscirkeln, nämligen punkten (-1, 0) och punkten (1, 0).

Se vidare din tidigare tråd, där jag har förklarat mer kring lösning av ekvationen sin(v) = 0.

Okej nu förstår jag

Bra. Då kör vi ett litet test.

Kan du säga vilken/vilka vinklar $v$ i intervallet $0^{\circ}\leq v<360^{\circ}$ som är lösningar till följande ekvationer?

$\sin(v)=0$
$\sin(v)=-1$
$\sin(v)=1$
$\sin(v)=0,5$
$\sin(v)=-0,5$
$\cos(v)=0$
$\cos(v)=-1$
$\cos(v)=1$
$\cos(v)=0,5$
$\cos(v)=-0,5$

1) Sin(v)=0

v=0+360n

-

2) sin (v)=-1

v=-90+360n

v=(180)-(-90+360n)

3) sin(v)=90

arcsin(1)=90

v=90+360n

4) sin(v)=0.5

v=30+360n

v=150+360n

5) sin(v)=-0.5

v=-30+360n

v=180-(-30+360n)

6) cos (v)=0

v=+-0+360n

7) cos(v)=-1

v=180+360n

v=-180+360n

8) cos(v)=1

v=0+360n

9) cos(v)=0.5

v=+-60+360n

10) cos(v)=-0.5

v=+-120+360n

Duger den här lösningen? Är det rätt tänkt?

Katarina149 skrev:

Generellt sett, jag frågade efter lösningar i intervallet $$0°\leq v<360°$$. Så vi vill inte ha några "+360n" med i dessa svar. Se övriga kommentarer nedan.

1) Sin(v)=0

v=0+360n

Nej. Vi har ju konstaterat, och du har själv på andra ställen skrivit, att denna ekvation har två lösningar i intervallet. Se detta svar, där jag beskriver hur många lösningar ekvationen sin(v) = a har, beroende på vilket värde a har. Om du inte hängde med på det så är det viktigt att du frågar så vi kan förklara.

2) sin (v)=-1

v=-90+360n

v=(180)-(-90+360n)

Ja, men den andra lösningen är identisk med den första. Se även kommentar ovan om antal lösningar.

3) sin(v)=90

arcsin(1)=90

v=90+360n

Det är rätt (förutom att du råkade skriva sin(v) = 90).

4) sin(v)=0.5

v=30+360n

v=150+360n

Det är rätt.

5) sin(v)=-0.5

v=-30+360n

v=180-(-30+360n)

Det är rätt. 180-(-30) = 210

6) cos (v)=0

v=+-0+360n

Nej det stämmer inte.

För alla punkter på enhetscirkeln så gäller att de har koordinaterna (cos(v), sin(v).

Om cos(v) = 0 så betyder det alltså att den horisontella koordinaten har värdet 0, dvs att punkten ligger på den vertikala axeln.

Det finns två sådana punkter på enhetscirkeln, nämligen punkten (0, -1) och punkten (0, 1).

Så - vilka vinklar "pekar ut" dessa två punkter?

7) cos(v)=-1

v=180+360n

v=-180+360n

Ja det stämmer, men den andra lösningen är identisk med den första. Kommentaren ovan om antal lösningar gäller även för cosinus.

8) cos(v)=1

v=0+360n

Ja, det stämmer.

9) cos(v)=0.5

v=+-60+360n

Ja, det stämmer.

10) cos(v)=-0.5

v=+-120+360n

Ja, det stämmer.

===========

Fråga: Har du läst avsnittet om enhetscirkeln? Förstår du allt där eller är det något som är oklart?

Yngve skrev:
Katarina149 skrev:

Generellt sett, jag frågade efter lösningar i intervallet $$0°\leq v<360°$$. Så vi vill inte ha några "+360n" med i dessa svar. Se övriga kommentarer nedan.

1) Sin(v)=0

v=0+360n

Nej. Vi har ju konstaterat, och du har själv på andra ställen skrivit, att denna ekvation har två lösningar i intervallet. Se detta svar, där jag beskriver hur många lösningar ekvationen sin(v) = a har, beroende på vilket värde a har. Om du inte hängde med på det så är det viktigt att du frågar så vi kan förklara.

2) sin (v)=-1

v=-90+360n

v=(180)-(-90+360n)

Ja, men den andra lösningen är identisk med den första. Se även kommentar ovan om antal lösningar.

3) sin(v)=90

arcsin(1)=90

v=90+360n

Det är rätt (förutom att du råkade skriva sin(v) = 90).

4) sin(v)=0.5

v=30+360n

v=150+360n

Det är rätt.

5) sin(v)=-0.5

v=-30+360n

v=180-(-30+360n)

Det är rätt. 180-(-30) = 210

6) cos (v)=0

v=+-0+360n

Nej det stämmer inte.

För alla punkter på enhetscirkeln så gäller att de har koordinaterna (cos(v), sin(v).

Om cos(v) = 0 så betyder det alltså att den horisontella koordinaten har värdet 0, dvs att punkten ligger på den vertikala axeln.

Det finns två sådana punkter på enhetscirkeln, nämligen punkten (0, -1) och punkten (0, 1).

Så - vilka vinklar "pekar ut" dessa två punkter?

7) cos(v)=-1

v=180+360n

v=-180+360n

Ja det stämmer, men den andra lösningen är identisk med den första. Kommentaren ovan om antal lösningar gäller även för cosinus.

8) cos(v)=1

v=0+360n

Ja, det stämmer.

9) cos(v)=0.5

v=+-60+360n

Ja, det stämmer.

10) cos(v)=-0.5

v=+-120+360n

Ja, det stämmer.

===========

Fråga: Har du läst avsnittet om enhetscirkeln? Förstår du allt där eller är det något som är oklart?

Jag gör ett nytt försök för de svar där svaret blev fel.

1) sin v=0

Jag tar sinus invers på bägge led. Detta ger ->

v1=0

v2=180 Ska jag ha med +360n? Eller inte?

6) cos (v)=0

Jag tar cosinus invers ->
v=+-90+360n Ska jag ha med +360n? Eller inte?

Blev mitt svar rätt/fel?

Katarina149 skrev:

Jag gör ett nytt försök för de svar där svaret blev fel.

1) sin v=0

Jag tar sinus invers på bägge led. Detta ger ->

v1=0

v2=180 Ska jag ha med +360n? Eller inte?

Det stämmer att alla lösningar till ekvationen sin(v) = 0 kan skrivas som v1 = 0° + n•360° och v2 = 180° + n•360°. (Detta kan kortare skrivas som v = n•180°).

Om du ska ha med perioden eller inte beror helt på hur frågan är ställd.

I det här fallet frågade jag specifikt om de lösningar som ligger inom intervallet 0° $\leq$ v < 360°, så här förväntar jag mig att du ska svara "v =0° och v = 180°".

6) cos (v)=0

Jag tar cosinus invers ->
v=+-90+360n Ska jag ha med +360n? Eller inte?

Det stämmer. (Lösnimgarna kan enklare skrivas v = 90° + n•180°.)

Samma sak här angående perioden. I det här fallet så förväntar jag mig att du ska svara "v = 90° och v = 270°".

Jag förstår inte varför ska jag svara att v=90 och v=270?

Det är för att det är de enda två vinklarna som både löser ekvationen cos(v) = 0 och som dessutom ligger i det efterfrågade intervallet.

Hur skulle du själv velat svara och varför?