Lös ekvationen

Det är en konstig ekvation att lösa. Det är bara värdet x=0 som uppfyller ekvationen. Det är ungefär som ekvationen y = 2y, som ju också bara har lösningen 0. 

(Det finns fler lösningar än x = 0.)

Bra idé att använda formeln för dubbla vinkeln, men du får skriva om VL som

$\sin x =2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$

Faktorisera och använd nollproduktsmetoden. 

Hur kan jag bryta ut/ faktoriers 

sin x=2sinx/2 cosx/2?

Du började med $\sin(x)=\sin(\frac{x}{2})$

Använd formeln för dubbla vinkeln på VL så får du

$2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2})=\sin(\frac{x}{2})$

Subtrahera $\sin(\frac{x}{2})$ från båda sidor, så att HL = 0.

Bryt ut $\sin(\frac{x}{2})$ i VL

Använd nollproduktmetoden.

Nu hänger jag inte med. Vilken sida (HL eller VL) i  ekvationen ”sin(x)=sin(x/2)” är det vi skriver om mha formeln för dubbla vinkeln?  Det gick lite för fort kan du  förklara mer detaljerat  istället

Använd formeln för dubbla vinkeln på VL så får du...

Högerledet är ju oförändrat. Sedan har jag inte gjort resten av uppgiften, utan berättat vad du skall göra. Försök!

Katarina149 skrev:

Nu hänger jag inte med. Vilken sida (HL eller VL) i  ekvationen ”sin(x)=sin(x/2)” är det vi skriver om mha formeln för dubbla vinkeln?  Det gick lite för fort kan du  förklara mer detaljerat  istället

Vi skriver om vänsterledet genom att vi där byter ut sin(x) mot 2sin(x/2)cos(x/2). Är du med på att det bytet går att göra enligt formeln för dubbla vinkeln?

Ekvationen blir då 2sin(x/2)cos(x/2) = sin(x/2)

”Är du med på att det bytet går att göra enligt formeln för dubbla vinkeln?” 

Svar : Nej det är jag inte med på. Jag förstår inte hur bytet går till 

Jag tror att jag är på rätt spår

Du behöver hitta alla lösningar till

$\cos \frac{x}{2}=\frac{1}{2}$

Du har även förkortat bort faktorn sin(x/2). Det får du bara göra om den faktorn inte är 0. 

Jag förstår inte vad du menar..

Katarina149 skrev:

”Är du med på att det bytet går att göra enligt formeln för dubbla vinkeln?” 

Svar : Nej det är jag inte med på. Jag förstår inte hur bytet går till 

Du vet att sin(2v) = 2sin(v)cos(v)

Om du nu kallar 2v för x så är ju v lika med x/2.

Det betyder att sin(x) = 2sin(x/2)cos(x/2)

Men du kom ju på det själv genom att använda additionsformeln istället.

Katarina149 skrev:

Jag förstår inte vad du menar..

Det är nog enklare att göra så här: Du har ekvationen

2sin(x/2)cos(x/2) = sin(x/2)

Subtrahera sin(x/2) från båda sidor:

2sin(x/2)cos(x/2) - sin(x/2) = 0

Faktorisera vänsterledet:

sin(x/2)(2cos(x/2) - 1) = 0

Enligt nollproduktmetodrn så har denna ekvation lösningarna

• sin(x/2) = 0
• 2cos(x/2) - 1 = 0

Så långt är jag med den fastnar jag

Yngve skrev:

Katarina149 skrev:

”Är du med på att det bytet går att göra enligt formeln för dubbla vinkeln?” 

Svar : Nej det är jag inte med på. Jag förstår inte hur bytet går till 

Du vet att sin(2v) = 2sin(v)cos(v)

Om du nu kallar 2v för x så är ju v lika med x/2.

Det betyder att sin(x) = 2sin(x/2)cos(x/2)

Men du kom ju på det själv genom att använda additionsformeln istället.

Jag hängde inte med på det du skrev här

”

Om du nu kallar 2v för x så är ju v lika med x/2.

Det betyder att sin(x) = 2sin(x/2)cos(x/2)”

Katarina149 skrev:

Så långt är jag med den fastnar jag

Vilket/vilka av följande steg är du inte med på?

1. Ekvationen är sin(x) = sin(x/2)
2. Vänsterledet kan skrivas 2sin(x/2)cos(x/2)
3. Ekvationen kan då skrivas 2sin(x/2)cos(x/2) = sin(x/2)
4. Om vi subtraherar sin(x/2) från båda sidor får vi 2sin(x/2)cos(x/2) - sin(x/2) = 0
5. Om vi faktoriserar vänsterledet får vi sin(x/2)(2cos(x/2) - 1) = 0
6. Enligt nollproduktmetoden så måste nu antingen sin(x/2) = 0 eller 2cos(x/2) - 1 = 0

Punkt två är jag inte med på. Ska man inte skriva om VL till sin(x/2 + x/2) = sin(x/2)*cos(x/2)+cos(x/2)+sin(x/2)?

som jag gjort här nedan?

Jag är med på uträkningen framtills man ska använda nollproduktsmetoden. Där fastnar jag 

Det är rätt så långt.

Tänk nu på att

• ekvationen sin(v) = a har lösningarna a = arcsin(v) + n*360° och a = 180° - arcsin(v) + n*360°
• ekvationen cos(w) = b har lösningarna b = arccos(w) + n*360° och b = -arccos(w) + n*360°

Använd gärna enhetscirkeln för att visualisera dessa lösningar.

Men jag förstår inte riktigt hur jag ska fortsätta min uträkning från steg 5 på min bild

Fall 1:

Ekvationen sin(x/2) = 0 har lösningarna x/2 = arcsin(0) + n*360° och x/2 = 180° - arcsin(0) + n*360°. Lös ut x och ersätt arcsin(0) med det exakta värdet.

Fall 2:

Ekvationen cos(x/2) = 1/2 har lösningarna x/2 = arccos(1/2) + n*360° och x/2 = -arccos(1/2) + n*360°. Lös ut x och ersätt arccos(1/2) med det exakta värdet.

Jag förstår inte hur du löser ekvationen 

sin(x/2)=0

Vilken del förstår du inte? Kan du lösa t.ex. sinx=0? Du kan läsa mer om trigonometriska ekvationer i matteboken,

det finns ett exempel där på sin5x=1/2 som kanske kan hjälpa dig. 

Katarina149 skrev:

Jag förstår inte hur du löser ekvationen 

sin(x/2)=0

Sätt v = x/2 och använd enhetscirkeln för att hitta lösningar till sin(v) = 0.

När du har dessa värden på v så kan du hitta motsvarande värden på x genom att lösa ut x ur ekvationen x/2 = v.

Är då v inte 90 grader. Alltså att sin(90)=0?

Nej du blandar ihop det.

sin(90°) = 1 

cos(90°) = 0

Hur kan sin(90) vara lika med 1? 
Varför är cos(90)=0? Kan du förklara det mha en enhetscirkel? Då kan jag förstår bättre 

Det är bättre om du gör det själv, med hjälp av följande instruktioner:

1. Rita en enhetscirkel.
2. Rita en radie i cirkeln.
3. Kalla (moturs)vinkeln mellan radien och den positiva delen av den horisontella axeln för v.
4. Den punkt på cirkeln som radien nuddar har nu koordinaterna (cos(v), sin(v)).
5. Vilka koordinater har den punkten om vinkeln är 0°?
6. Vilka koordinater har den punkten om vinkeln är 90°?
7. Vilka koordinater har den punkten om vinkeln är 180°?
8. Vilka koordinater har den punkten om vinkeln är 360°?

Okej det här är min ritade bild. När vinkeln är 0 grader så är koordinaterna (cos v , 0) .  När vinkeln är 90 grader är koordinaterna (0,sin(v)). när vinkeln är 180 grader så är koordinaterna (-cos v,0). När vinkeln är 360 grader så är koordinaterna (cos v,sin v)

Bra. Jag förtydligar. Eftersom cirkeln har radien 1 så gäller följande:

1. När vinkeln är 0° så är koordinaterna (cos(0°), sin(0°). I enhetscirkeln ser du att denna punkt har koordinaterna (1,0) vilket innebär att cos(0°) = 1 och att sin(0°) =0.
2. När vinkeln är 90° så är koordinaterna (cos(90°), sin(90°). I enhetscirkeln ser du att denna punkt har koordinaterna (0,1) vilket innebär att cos(90°) = 0 och att sin(90°) =1.
3. När vinkeln är 180° så är koordinaterna (cos(180°), sin(180°). I enhetscirkeln ser du att denna punkt har koordinaterna (-1,0) vilket innebär att cos(180°) = -1 och att sin(180°) =0.
4. När vinkeln är 270° så är koordinaterna (cos(270°), sin(270°). I enhetscirkeln ser du att denna punkt har koordinaterna (0,-1) vilket innebär att cos(270°) = 0 och att sin(270°) =-1.
5. När vinkeln är 360° så är koordinaterna (cos(360°), sin(360°). I enhetscirkeln ser du att denna punkt har koordinaterna (1,0) vilket innebär att cos(360°) = 1 och att sin(360°) = 0.

Hängde du med på det?

Japp det här hängde jag med på. Men jag har fortfarande fastnat på den här frågan 

Du ska lösa ekvationen sin(x/2) = 0.

Jag föreslår att du kallar x/2 för v.

Du ska då lösa ekvationen sin(v) = 0.

 Kan du göra det?

Ta hjälp av enhetscirkeln eller den lista jag skrev i mitt förra svar.

När sinus är 0 är vinkeln v=90 grader. Men sen blir det krångligt. Hur ska jag tänka? Sin(90/2)=0 elr ska det var sin(180/2)=0?

Nej sin(90°) är lika med 1, inte 0.

Däremot så gäller att sin(0°) är lika med 0.

Det betyder att ekvationen sin(v) = 0 har lösningarna v₁ = 0° + n•360° och v₂ = 180° + n•360°.

Är du med på det?

Okej. Detta är så långt som jag har hängt med och förstått. Därefter fastnar jag.

Det är sista steget när jag ska förenkla uttrycken mha nollproduktsmetoden som jag fastnar.

Förstår du nollproduktmetoden, dvs förstår du att lösningarna till ekvationen sin(x/2)(2cos(x/2)-1) = 0 fås genom att lösa de båda ekvationerna din(x/2) = 0 och 2cos(x/2) - 1 = 0?

Jag vet inte hur jag ska lösa ekvationen sin(x/2)=0 

eller den andra ekvationen under 2cosx/2 - 1 =0

jag kan nollproduktsmetoden. Men det här med sinus och cosinus i en ekvation är nytt för mig. Därav så är jag lite förvirrad vid uträkningarna.

1. Du ska lösa ekvationen sin(x/2) = 0.
2. Om du kallar x/3 för v så lyder ekvationen sin(v) = 0.
3. Den ekvationen har lösningarma v = 0° + n•360° och v = 180° + n•360°.

Vad av detta fastnar du på?

Steg 3 fastnar jag på. Jag hänger inte med helt och hållet

För att lösa ekvationen sin(v) = 0 kan du använda enhetscirkeln.

1. Rita enhetscirkeln.
2. En godtycklig punkt på enhetscirkeln har koordinaterna (cos(v), sin(v)).
3. De punkter som uppfyller villkoret sin(v) = 0 har alltså koordinaterna (cos(v), 0).
4. Det betyder att den vertikala koordinaten är lila med 0.
5. Det betyder att punkten ligger på den horisontella axeln.
6. Markera de punkter på enhetscirkeln som ligger på den horisontella axeln.
7. Rita radier från origo till dessa punkter.
8. Motursvinkeln mellan den positiva horisontella axeln och radien är lika med vinkeln v.

Visa din figur.

Det enda jag förstod var det här :

OK, vi kallar nu koordinataxlarna x och y.

Koordinaterna för en punkt på enhetscirkeln kan då antingen skrivas (x, y) eller (cos(v), sin(v)).

Det betyder att x = cos(v) och y = sin(v).

En punkt som uppfyller sin(v) = 0 har alltså y-koordinaten lika med 0.

Vilka två punkter på enhetscirkeln har y-koordinaten 0?

Sin(0)=0

cos(90)=0

Nej jag menar att du i koordinatform ska ange de två punkter på enhetscirkeln som har y-koordinaten 0.

Exempel:

Punkten (1, 0) ligger på cirkeln och har y-koordinaten 0.

Villen är den andra punkten som har y-koordinaten 0?

Tips: Rita en enhetscirkel och hitta de två ställen där den skär x-axeln.

(-1,0) och (1,0)

Bra det stämmer.

Rita nu en radie R1 från origo till punkten (-1,0) och en annan radie R2 från origo till punkten (1,0).

1. Vinkeln mellan positiva x-axeln och R1 har sinusvärdet 0. Vilken är denna vinkel?
2. Vinkeln mellan positiva x-axeln och R2 har sinusvärdet 0. Vilken är denna vinkel?

Jag hänger inte med på det här ”Vinkeln mellan positiva x-axeln och R1 har sinusvärdet 0. Vilken är denna vinkel?”

Du har ritat R1 och R2 fel.

• Markera punkterna (-1,0) och (1,0) i koordinatsystemet.
• R1 ska gå från origo till punkten (-1, 0).
• R2 ska gå från origo till punkten (1, 0).
• Rita R1 och R2.

Är det så du menar? 

Ja, fast du har bytt plats på R1 och R2.

Okej? Hur ska detta hjälpa mig för att lösa uppgiften?

Det ska hjälpa dig att förstå vilka vinklar v som har sinusvärdet 0, dvs det ska hjälpa dig att lösa ekvationen sin(v) = 0.

Vilket i sin tur leder fram till en del av lösningen till ursprungsekvationen. 

Det känns inte roligt att jag har förstått hur man ska lösa ekvationen så att x blir ensamt

En sak i taget.

Vi har ännu inte hittat alla lösningar till ekvationen sin(v) = 0.