Lös ekvationen

K.Ivanovitj skrev :

Hej

 

 

 

 kan någon hjälpa mig med följande uppgift:

 

$z^3=\frac{27}{2}+i27\sqrt{3/2}$ Placera in rötterna i det komplexa talplanet samt ange argument för kvoten mellan roten i andra och första kvadranten.

Jag är inte riktigt med på hur man ska göra.

Skriv HL på polär form och använd de Moivres formel.

okej då fick jag $z=\frac{27}{2}a+27\sqrt{3/2}b$ och sedan att $r=\left|z\right|=\sqrt{{\left(\frac{27}{2}\right)}^2+{\left(27\sqrt{3/2}\right)}^2}=\frac{27\sqrt{7}}{2}=35,718$ och arctan(35.718=1.54

Efter det är jag inte säker på hur man ska ta sig vidare.

$z^3=27(\frac{1}{2}+i\sqrt{\frac{3}{2}})...finns det en mening med talet 27?$

arctan(vadå?)...rita om du är osäker på tan() å sånt.

okej, ska man ta arctan(1/2)+arctan($\sqrt{3/2}$)

eller hur ska man ta sig vidare?

Nej. Har du ritat ut talet i det komplexa talplanet?

Tangens för vinkeln är imaginärdelen / realdelen. Vad blir det? Vilken blir vinkeln?

då får vi väl $\frac{{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}}{{\displaystyle \frac{1}{2}}}=\frac{{\displaystyle 2}\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$

Vilken blir vinkeln?

Affe Jkpg skrev :

$z^3=27(\frac{1}{2}+i\sqrt{\frac{3}{2}})...finns det en mening med talet 27?$

arctan(vadå?)...rita om du är osäker på tan() å sånt.

$\frac{1}{2}+i\sqrt{\frac{3}{2}}$ ....eller skrev du fel i uppgiften från början?

smaragdalena skrev :

Vilken blir vinkeln?

vinkeln får jag till pi/3

Affe Jkpg skrev :

Affe Jkpg skrev :

$z^3=27(\frac{1}{2}+i\sqrt{\frac{3}{2}})...finnsdetenmeningmedtalet27?$

arctan(vadå?)...rita om du är osäker på tan() å sånt.

$\frac{1}{2}+i\sqrt{\frac{3}{2}}$ ....eller skrev du fel i uppgiften från början?

nej, det ska vara rätt som jag skrev i uppgiften i det första inlägget

$z^3=\frac{27}{2}+i27\sqrt{\frac{3}{2}}$

Kalla HL för w

$z^3 = w = \left|w\right|\left(\cos \right(arg\left(w\right) +i\sin \left(arg\right(w\left)\right)$

arg(w) har du bestämt till pi/3

beloppet ska du bestämma.

 Men här är det viss förvirring:

När du beräknar argumentet använder du isqrt(3)/2, men du skriver i urprungsinlägget isqrt(3)/sqrt(2)

Om det är det senare som gäller är argumentberäkningen fel. Dessutom blir beloppet väldigt besvärligt. 

sen är det bara att använda de Moivres formel

okej då får jag $z^3=w=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$

Då tar vi om det från början...

$z^3=27(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})$

Du har beräknat arctan(vinkeln)=$\sqrt{3}$
vinkeln=60grader

Du måste räkna om beloppet.
Sedan kommer det svåra....

hur menar du, ska vi räkna ut absolutbeloppet som 27*$\left(\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2\right)$

Som smaragdalena skrev:
Nej. Har du ritat ut talet i det komplexa talplanet?

Åsså Pythagoras sats...
$beloppet=\sqrt{realde{l}^2+imaginärde{l}^2}$...eller har du bara gjort ett skrivfel med rot-tecknet...igen

Det gäller också följande (så du kan bryta ut $27$):

$|au| = |a|\cdot |u|$

Affe Jkpg skrev :

Som smaragdalena skrev:
Nej. Har du ritat ut talet i det komplexa talplanet?

Åsså Pythagoras sats...
$beloppet=\sqrt{realde{l}^2+imaginärde{l}^2}$...eller har du bara gjort ett skrivfel med rot-tecknet...igen

ja när jag ritar ut i det komplexa talplanet får jag vinkeln pi/3

och det skulle ha varit rottecken över båda termerna dvs $\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}$

K.Ivanovitj skrev :

Affe Jkpg skrev :

Som smaragdalena skrev:
Nej. Har du ritat ut talet i det komplexa talplanet?

Åsså Pythagoras sats...
$beloppet=\sqrt{realde{l}^2+imaginärde{l}^2}$...eller har du bara gjort ett skrivfel med rot-tecknet...igen

ja när jag ritar ut i det komplexa talplanet får jag vinkeln pi/3

och det skulle ha varit rottecken över båda termerna dvs $\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}$

Nu känns det lite virrigt.

Om jag får sammanfatta situationen så ska vi lösa

$z^3=27\frac{1}{2}+i27\frac{\sqrt{3}}{2}$

och har bestäm att HL har argumentet pi/3

och absolutbeloppet

$27\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}=27$

Vi kan då övergå till polär form och skriver vår ekvation

$z^3 = 27\left(\cos \right(\frac{\pi }{3}) + i\sin (\frac{\pi }{3}\left)\right)$

hur kommer du vidare härifrån?

Ska man då inte sätta $z^3=27*\left(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{27}{2}\left(1+i\sqrt{3}\right)$

Ja, det skulle man kunna, men vad skulle det vara bra till?

När man nu tittar på ursprungsfrågan så har vi ju löst argument och absolutbelopp, sedan att placera in rötterna i det komplexa talplanet, är det inte bara att placera in (1+$i\sqrt{3}$)?

Du har löst belopp och argument för z^3.

Nu ska du hitta tre tal z, sådana att deras kub blir det du har i HL

Med risk för upprepning: De Moivre...

jag är inte riktigt med här, vi har ju fått fram ett svar genom de moivre nämligen $\left(\cos \left(\frac{\pi }{3}\right)+i\sin \left(\frac{\pi }{3}\right)\right)=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$

Ska man då alltså hitta tre tal som ska uppfylla $\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$

men jag vet inte hur man riktigt hur man ska komma fram till det.

Du ska hitta tre tal vars kub blir det du akrev. I polär form är det lätt. Tredjeroten ur beloppet och argumenter delat med 3. 

Om vi har pi/3 är ju också pi/3 + n2pi ett giltigt argument.

Har bara telefonen just nu om ingen annan hjälpt dig återkommer jag ikväll

När man multiplicerar två imaginära tal så multiplicerar man beloppen och summerar deras vinklar

Nu har du i stället multiplikation av tre imaginära tal:
z*z*z...hur tänker du då?

...pi/3=60grader...vilket kan underlätta något :-)

$z^3 =27\left(\cos \right(\frac{\pi }{3}+n2\pi )+i\sin (\frac{\pi }{3}+n2\pi \left)\right)$

för att få ut z så tar man tredjeroten ur beloppet och delar

argumentet med 3.

observera att jag lagt till periodiciteten i argumentet

$z =\sqrt[3]{27}\left(\cos \right(\frac{\pi }{3\times 3}+\frac{n2\pi }{3})+i\sin (\frac{\pi }{3\times 3}+\frac{n2\pi }{3}\left)\right)$

där n kan vara 0, 1 eller 2. vilket är de tre olika lösningarna.

Nu kan man förenkla  lite grann men i övrigt är man klar

okej så för att sammanfatta:

vi hade ekvationen $z^3=\frac{27}{2}+i27\frac{\sqrt{3}}{2}$

vi bestämde argumentet till pi/3

absolutbeloppet till 27$\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}=27$

För att få ut z tog vi tredjeroten ur beloppet och fick $z=\sqrt[3]{27}\left(\left(\cos \left(\frac{\pi }{3*3}\right)+\frac{n2\pi }{3}\right)+i\sin \left(\frac{\pi }{3*3}\right)+\frac{n2\pi }{3}\right)$ där n=0,1 eller 2

Sammanfattning...
$z=3\left(\cos \right({20}^{°}+n120°)+i\sin (20°+n120°\left)\right);n\in \mathrm{\mathbb{Z}}$

...och ännu kompaktare...vilket inte alla tycker om :-)

$z=3\angle (20°+n120°);n\in \mathrm{\mathbb{Z}}$

okej, då har jag bara kvar att placera in rötterna i det komplexa talplanet.

Där vet jag inte riktigt hur det ska bli, vi har ju lutningen pi/3 och absolutbeloppet 27 men tittar vi på svaret får vi ju cospi/9 vilket är 20grader

Förläng linjen åt andra hållet - tangens är detsamma där.

K.Ivanovitj skrev :

okej, då har jag bara kvar att placera in rötterna i det komplexa talplanet.

Där vet jag inte riktigt hur det ska bli, vi har ju lutningen pi/3 och absolutbeloppet 27 men tittar vi på svaret får vi ju cospi/9 vilket är 20grader

Nä...ska du rita i det komplexa talplanet är beloppet av z lika med 3 och vinklarna är 20, 140, och 260 grader

Jag gissar på en av dom tre till ungefär:

$2\sqrt{2}+i\frac{3}{5}\sqrt{3}$

Vi får se om någon vill rätta mig :-)

Vilka är i så fall dom andra två?